Розрахунок перехідних процесів із використаннямінтеграла Дюамеля, Метод змінних станів (Лекція

Знаючи реакцію ланцюга на одиничний вплив, що обурює, тобто. функцію перехідної провідності або (і) перехідну функцію за напругою можна знайти реакцію ланцюга на вплив довільної форми. У основі методу – методу розрахунку з допомогою інтеграла Дюамеля – лежить принцип накладання.

При використанні інтеграла Дюамеля для поділу змінної, за якою проводиться інтегрування, і змінної, що визначає момент часу, який визначається струм в ланцюгу, першу прийнято позначати як , а другу - як t.

Нехай у момент часу до ланцюга з нульовими початковими умовами (пасивному двополюсникуПДна рис. 1) підключається джерело з напругою довільної форми. Для знаходження струму в ланцюзі замінимо вихідну криву ступінчастою (див. рис. 2), після чого з урахуванням, що ланцюг лінійний, підсумуємо струми від початкового стрибка напруги і всіх сходів напруги до моменту t, що вступають у дію із запізненням за часом.

У момент часу t складова загального струму, що визначається початковим стрибком напруги, дорівнює .

У момент часу має місце стрибок напруги, який з урахуванням часового інтервалу від початку стрибка до моменту часу, що цікавить, t зумовить складову струму.

Повний струм у час t дорівнює, зрозуміло, сумі всіх складових струму від окремих стрибків напруги з урахуванням , тобто.

Заміняючи кінцевий інтервал збільшення часу на нескінченно малий, тобто. переходячи від суми до інтегралу, запишемо

Співвідношення (1) називаєтьсяінтегралом Дюамеля.

Слід зазначити, що з використанням інтегралу Дюамеля можна визначати напругу. При цьому (1) замість перехідної провідності входитиме перехідна функція по напрузі.

Послідовність розрахунку звикористанням інтеграла Дюамеля

Визначення функції (або ) для досліджуваного ланцюга.
Запис виразу (або ) шляхом формальної заміни t на .
Визначення похідної.
Підстановка знайдених функцій (1) і інтегрування певного інтеграла.

Як приклад використання інтеграла Дюамеля визначимо струм у ланцюзі рис. 3, розрахований у попередній лекції з використанням формули включення.

Вихідні дані до розрахунку: , , .

Отриманий результат аналогічний виразу струму, визначеного попередньої лекції на основі формули включення.

Метод змінних стану

Рівняння електромагнітного стану – це система рівнянь, що визначають режим роботи (стан) електричного кола.

Метод змінних стану ґрунтується на упорядкованому складанні та розв'язанні системи диференціальних рівнянь першого порядку, які дозволені щодо похідних, тобто. записані у вигляді найбільш зручному для застосування чисельних методів інтегрування, що реалізуються засобами обчислювальної техніки.

Кількість змінних стану, отже, кількість рівнянь стану дорівнює числу незалежних накопичувачів енергії.

До рівнянь стану висуваються дві основні вимоги:

-Можливість відновлення на основі змінних стану (змінних, щодо яких записані рівняння стану) будь-яких інших змінних.

Перша вимога задовольняється спеціальною методикою складання рівнянь стану, яка буде розглянута далі.

Для виконання другої вимоги як змінний стан слід прийняти потокозчеплення (струми у гілках з індуктивними елементами) та заряди (напруги)на конденсаторах. Справді, знаючи закон зміни цих змінних у часі їх можна замінити джерелами ЕРС і струму з відомими параметрами. Решта ланцюг виявляється резистивною, а отже завжди розраховується при відомих параметрах джерел. З іншого боку, початкові значення цих змінних ставляться до незалежним, тобто. у випадку розраховуються простіше інших.

При розрахунку методом змінних стану, крім самих рівнянь стану, що пов'язують перші похідні і з самими змінними та джерелами зовнішніх впливів - ЕРС і струму, необхідно скласти систему алгебраїчних рівнянь, що зв'язують шукані величини зі змінними стану і джерелами зовнішніх впливів.

Таким чином, повна система рівнянь у матричній формі запису має вигляд

Тут і - стовпцеві матриці відповідно змінних стану та їх перших похідних за часом; - матриця-стовпець джерел зовнішніх впливів; - Стовпцева матриця вихідних (шуканих) величин; - Квадратна розмірністюn x n(де n - число змінних стану) матриця параметрів, звана матрицею Якобі; - прямокутна матриця зв'язку між джерелами та змінними станами (кількість рядків дорівнює n, а стовпців – числу джерел m); - прямокутна матриця зв'язку змінних стану з шуканими величинами (кількість рядків дорівнює числу шуканих величин, а стовпців – n); - Прямокутна розмірністюдо x mматриця зв'язку входу з виходом.

Початкові умови рівняння (2) задаються вектором початкових значень (0).

Як приклад складання рівнянь стану розглянемо ланцюг на рис. 4,а, в якій потрібно визначити струми та .

За законами Кірхгофа для цього ланцюга запишемо