РОЗРАХУНОК РЕЖИМУ ЕЛЕКТРИЧНОЇ МЕРЕЖІ З ДВОХСТОРІННИМ ЖИВЛЕННЯМ З ОБЛІКОМ ТЕМПЕРАТУРНОЇ ЗАЛЕЖНОСТІ
Розрахунок усталених режимів одна із головних завдань, вирішуваних під час проектування та експлуатації електричних мереж. Стандартні математичні моделі враховують нелінійність споживачів енергії, проте параметри схеми заміщення електричної мережі зазвичай задаються в лінійній формі. Разом про те цих параметрів також характерні різні види нелінійності, серед яких найважливіше значення має температурна залежність активних опорів поздовжніх гілок.
В даний час основною галуззю обліку даного фактора в електроенергетиці є розрахунок втрат енергії. Однак температурна залежність опору враховується зазвичай тільки на стадії обчислення втрат як функції струмів або потужностей, що передаються; Самі струми та потужності в більшості випадків визначаються без урахування температури. Дане положення обумовлено тим, що якщо навантажувальні втрати прямо пропорційні активним опорам, то для струмів і потужностей активні опори елементів мережі є менш значущим фактором, що часто розглядається як вторинний. Справді, схеми заміщення електричних мереж містять як активні, а й індуктивні опору, причому останні у часто переважають. Крім того, якщо мережа розімкнена, то потокорозподіл взагалі мало залежить від параметрів елементів мережі і визначається в основному навантаженнями.
Тим не менш, функціональні зв'язки між параметрами режиму електричних систем мають складний і нелінійний характер, і передбачити ступінь впливу окремих факторів на результати розрахунку в кожній конкретній ситуації досить важко. Тому розробки області обліку температурної залежності опорів при розрахунку режимів існують [9, 2, 5-7].
У цій статті також пропонуєтьсяодин із варіантів вирішення цього завдання. Визначення температури провадиться на основі уточнених рівнянь теплового балансу повітряних ліній, що враховують сонячну радіацію. При цьому як об'єкт розрахунків обрано мережу з двостороннім живленням. Цей вибір обумовлений тим, що в замкнутих мережах, на відміну від розімкнених, опору елементів мають важливий вплив на потокорозподіл. З іншого боку, за зміни активних опорів змінюється ступінь однорідності мережі, що має безпосередньо позначатися величині втрат енергії.
1. Математичні моделі. Мережа з двостороннім живленням та її схема заміщення показані на рис. 1, 2. Математична модель режиму, що встановлюється, що враховує температурну залежність опорів, може бути записана в наступному вигляді:
Мал . 1. Мережа з двостороннім живленням
Мал. 2. Схема заміщення
де Ui, δi - модулі та фази напруг у вузлах, кВ і рад; Pн,i, Qн,i – потужності споживачів, МВт і Мвар, за умови, що напруга у відповідному вузлі дорівнює Uном, кВ; a2,i, a1,i, a0,i, b2,i, b1,i, b0,i – коефіцієнти квадратичної апроксимації статичних характеристик активної та реактивної потужності навантажень за напругою; li - Довжина лінії, км; nц,i та nф,i – число ланцюгів лінії та число проводів у фазі; dпр,i – діаметр дроту, м; αвин,i – коефіцієнт тепловіддачі дроту (вимушеної конвекцією), Вт/(м2∙°C); Θi, Θокр – температури дроту та навколишнього середовища, °C; Ti, Tокр - абсолютні температури дроту та навколишнього середовища; εп та As – ступінь чорноти поверхні дроту та поглинальна здатність поверхні для сонячного випромінювання; C0 = 5,67∙10-8 Вт/(м2∙K4) – постійна Стефана – Больцмана: qсон,i – щільність потоку сонячної радіації на поверхнюдроти, Вт/м2; R0,i – активний опір лінії Ом при 0 °C; α – температурний коефіцієнт опору.
Рівняння (1), (2) є стандартними рівняннями вузлових напруг у формі балансу струмів у полярній системі координат. Власні та взаємні провідності вузлів розписані через опори та ємнісні провідності ліній. Це зроблено у тому, щоб у рівняння у явному вигляді входили нелінійні елементи – активні опору.
Крім рівнянь електричного режиму (1), (2) система включає рівняння теплового балансу повітряних ліній (3). Перший доданок у цих рівняннях є втрати активної потужності в одному дроті довжиною 1 м, виражені в [Вт]. Для перекладу втрат у всій лінії [МВт] у вказану величину використовується множник перед квадратною дужкою. Вираз у квадратних дужках у аналізованому доданку являє собою квадрат модуля падіння напруги в лінії. Другий доданок визначає тепловий потік від проводу, зумовлений конвекцією та тепловим випромінюванням, за винятком сонячної радіації, записаний аналогічно [9].
Вирази (4) та (5) являють собою формули зв'язку рівнянь електричного та теплового режимів, що визначають температурну залежність активних опорів (4) та квадрати повних опорів (5). Ці формули виписані окремо лише для наочності та скорочення запису основних рівнянь; насправді при вирішенні системи формули (4), (5) підставляються до рівнянь (1), (2) та (3). При цьому загальна розмірність системи стає рівною (3n+1), і невідомими в ній є модулі та фази напруг Ui, δi, а також температури проводів Θi.
Особливістю та недоліком даної моделі є множинність рішень. Так, кожне із рівнянь теплового балансу маєщонайменше два дійсних рішення і стільки ж рішень зазвичай має нелінійна система рівнянь електричного режиму (при заданих опорах). Тоді загальне число рішень можна оцінити як 2(n+1)2, причому лише з них мають фізичний сенс, інші ж є чистої математичної абстракцією. Щоб уникнути цього, можна використовувати спрощену форму запису рівнянь теплового балансу [9], яка унеможливлює «сторонні» рішення:
, (6)
(7)
(8)
(9)
Тут ΔΘд = Θдоп - Θокр - перевищення допустимої температури дроту над температурою навколишнього середовища; ΔP0,i – втрати потужності у дроті довжиною 1 м, які мали б місце за фактичного струму та за температури проводу 0 °C [9]. Виражаючи ці втрати через модулі та фази напруг, отримаємо:
. (10)
Замінивши рівняння (3) на (6) з урахуванням (7)-(10), отримаємо математичну модель режиму, число рішень у якій зменшено до двох (якщо система рівнянь вузлових напруг при постійних опорах має 2 рішення). При цьому обидва рішення мають фізичне значення.
2. Вибір методів розв'язання систем рівнянь. При розрахунку режимів електричних мереж найчастіше використовується метод Ньютона. Природним рішенням було б безпосереднє застосування цього методу для моделі, що враховує температуру, наприклад (1)-(5). Однак рівняння теплового балансу різко відрізняються від рівнянь вузлових напруг, внаслідок чого очікується погіршення збіжності обчислювального процесу. Зокрема, якщо струми далекі від допустимих нагрівання, то вплив температури на електричний режим буде слабким, що призведе до поганої обумовленості матриці Якобі (у тій частині, яка відповідає рівнянням теплового балансу і похідним за температурою).
Щобуникнути цього, основою алгоритму можна покласти рішення методом Ньютона лише рівнянь вузлових напруг, а вплив температури враховувати як додатковий уточнюючий чинник. При цьому можливі два підходи.
1. Організація подвійного ітераційного процесу: внутрішній цикл – вирішення рівнянь вузлових напруг; Зовнішній цикл – уточнення температури. Подібні алгоритми описані в роботах к.т.н., доцента Барскова В.В.
2. Уточнення температури кожної ітерації методу Ньютона при черговому розрахунку елементів матриці Якобі. Інакше кажучи, температурна корекція вводиться «всередину» методу Ньютона.
Загальний опис і характеристики методів, що розглядаються, зведені в (табл. 1).
Численні методи розрахунку режиму мережі з урахуванням температури
Спільне рішення рівнянь
Подвійний ітераційний процес
Внутрішня температурна корекція
Рівняння вузлових напруг та теплового балансу вирішуються як єдина система методом Ньютона.
1. Завдання початкових наближень температур.
2. Розрахунок активних опорів.
3. Вирішення рівнянь вузлових напруг методом Ньютона.
4. Розрахунок наступних наближень температур та повернення до пункту 2.
На кожній ітерації розв'язання рівнянь вузлових напруг методом Ньютона виробляється уточнення температур та активних опорів шляхом розв'язання рівнянь теплового балансу. При цьому елементи матриці Якобі та праві частини лінеаризованих рівнянь вузлових напруг обчислюються з урахуванням зміни активних опорів.
Порядок матриці Якобі
Кожен із цих методів у принципі може бути використаний як для моделі без спрощень (1)-(5), так і для моделі з квадратичною апроксимацією (1), (2), (4)-(10). Однак спільне рішення методом Ньютонарівнянь (1), (2), (4)-(10) замість (1)-(5) призводить не до спрощення, а до ускладнення розрахунків, оскільки, незважаючи на апроксимацію, система все одно залишається нелінійною, а температура визначається за більш громіздкими виразами. У той самий час у двох інших методах розрахунок температур виділено окрему обчислювальну процедуру. Тому використання квадратичної апроксимації у цих випадках призводить до суттєвого зменшення обсягу розрахунків: температури визначаються аналітично, а не чисельно. У цьому втрати точності мало відбувається [9].
Таким чином, метод спільного вирішення рівнянь доцільно застосовувати для моделі без спрощень, а метод внутрішньої корекції температур – для моделі з квадратичною апроксимацією.
Нижче наведено результати відповідних розрахунків. При цьому, хоча метод подвійного ітераційного процесу може бути використаний для моделі з квадратичною апроксимацією, при порівняльних розрахунках була використана модель зі спрощеними рівняннями теплового балансу [4]. Це не позначається на збіжності, проте дозволяє додатково оцінити вплив точності рівнянь на результати розрахунку режимів.
3. Аналіз результатів. Для порівняння методів між собою, а також із класичним методом, що не враховує температуру, було розглянуто чотири характерні режими (табл. 2, 3) мережі з трьома лініями (n=2).
Характеристика режимів, довжини ліній та марки проводів