РОЗВИТОК ЛОГІКИ У ЗВ’ЯЗКУ З ПРОБЛЕМОЮ ОБГРУНТУВАННЯ МАТЕМАТИКИ
Німецький математик і логік Готтлоб Фреге (1848-1925) спробував звести математику до логіки. З цією метою в першій своїй роботі з математичної логіки "Обчислення понять" ("BegnfTsschrift") він визначив безліч як обсяг поняття і таким чином отримав можливість визначити і число через обсяг поняття. Таке визначення числа він сформулював в "Підставах арифметики" ("Grundlagen der Arithmetik"), книзі, яка на той час залишилася непоміченою, але згодом здобула широку популярність. Тут Фреге визначає число, що належить поняттю як обсяг цього поняття. Два поняття вважаються рівночисленними, якщо множини, що виражають їх обсяги, можна поставити у однозначну відповідність один з одним. Так, наприклад, поняття «вершина трикутника» рівнозначне поняття «сторона трикутника», і кожному з них належить одне й те число 3, що є обсягом поняття «вершина трикутника».
Якщо Лейбніц лише намітив програму зведення математики до логіки, то Г. Фреге спробував зведення досить значної частини арифметики до логіки, т. е. зробив деяку математизацію логіки 22 . Символічні позначення, прийняті ним, дуже громіздкі, і тому мало хто повністю прочитав його «Основні закони арифметики». Сам Фреге особливо не розраховував те що, що його твір знайде читачів. Проте праця Фреге відіграла значну роль
в історії обґрунтування математики у першій половині XX ст. У цьому творі Фреге писав: «У моїх «Підставах арифметики» (1884) я намагався навести аргументи на користь того, що арифметика є частиною логіки і не повинна запозичувати ні досвід, ні споглядання жодних основ доказу. У цій книзі (йдеться про «Основні закони арифметики». —Л. Г.) це має бутипідтверджено тим, що найпростіші закони арифметики виводяться лише за допомогою логічних засобів» .
Отже, Фреге вважав, що він логічно визначив число і точно перерахував логічні правила, за допомогою яких можна визначати нові поняття та доводити теореми, і таким чином він і зробив арифметику частиною логіки. Фреге не підозрював, однак, що побудована ним система не тільки не була логічним обґрунтуванням змістовної арифметики, але була навіть суперечливою. Цю суперечність у системі Фреге виявив Бертран Рассел.
Причину своєї невдачі Фреге бачив у використаному ним припущенні, що у всякого поняття є обсяг у сенсі постійної, строго фіксованої множини, що не містить у собі ніякої невизначеності чи розпливчастості. Адже саме через цей обсяг він визначив основне поняття математики: поняття числа.
Від чистої математики Рассел відрізняє прикладну математику, яка полягає у застосуванні формальних висновків до матеріальних даних.
Для того щоб показати, що чиста математика зводиться до логіки, Рассел бере систему аксіом арифметики, сформульовану Пеано, і намагається їх логічно довести, а три поняття, що не визначаються у Пеано: «нуль», «число», «наступне за» — визначити в термінах своєї логічної системи. Усі натуральні числа Рассел також вважає за можливе висловити у термінах логіки, отже, звести арифметику до логіки. Оскільки, на його думку, вся чиста математика може бути зведена до арифметики, те й математика може бути зведена до логіки. Рассел пише: Логіка стала математичною, математика логічної. Внаслідок цього сьогодні неможливо провести кордон між ними. По суті це те саме. Вони розрізняються як хлопчик та чоловік; логіка -це молодість математики, а математика - це зрілість логіки »28. Рассел вважає, що немає пункту, де можна було б провести різку кордон, з одного боку якої була б логіка, а з іншого — математика.
Але насправді математика неприйнятна до логіки. Предмети вивчення цих наук є різними. Нами раніше було зазначено характерні риси, властиві логіці як науці (див. с. 114). У математики інші завдання та функції.
У великій тритомній праці "Principia Malhematica" є дві сторони. Перша — змушує бачити у ньому одне з основних витоків сучасної математичної логіки. Все, що пов'язано з цією стороною Principia Mathematica, отримало надалі такий розвиток у математичній логіці, що зробило цю нову галузь науки особливо важливою для вирішення не тільки найважчих задач теоретичної математики та її обґрунтування, а й цілого ряду важливих для практики завдань обчислювальної математики. та техніки.
Однак Г. Фреге і Б. Рассел прийшли в логічному аналізі до ряду цікавих результатів, що стосуються понять «предмет», «ім'я», «значення», «сенс», «функція», «ставлення» та ін. Особливо слід наголосити на важливості розробленої Расселом теорії типів (простий та розгалуженою), мета якої полягає в тому, щоб допомогти дозволити парадокси в теорії множин. Раціональне зерно розгалуженої теорії типів Рассела у тому, що є конструктивної теорією.
БАГАТОЗНАЧНІ ЛОГІКИ
Якщо двозначної логіці висловлювання буває істинним чи хибним, то багатозначних логіках число значень істинності аргументів і функцій то, можливо будь-яким кінцевим і навіть нескінченним. У цьому додатку заперечення позначається черезN xабо
кон'юнкція черезКхуабо нестрога диз'юнкція черезАхуабо матеріальна імплікація — черезСхуабо Значення функції від аргументуазаписуватимемо так: [д].Татологією(або загальнозначущою) називається формула, яка при будь-яких комбінаціях значень змінних, що входять до неї, приймає значення «істина» (найчастіше в аналізованих системах «істина» позначається цифрою 1).
Розвиток багатозначних логік, на нашу думку, підтверджує думку, що істина завжди конкретна, а також положення про відносний характер конкретно-наукових знань: те, що є тотожно-істинним в одній логічній системі, не виявляється тотожно-істинним в іншій.
Тризначна система Лукасевича 29
Тризначна пропозиційна логіка була побудована Я. Лукасевичем у 1920 р. У ній «істина» позначається 1, «брехня» - 0, «нейтрально» - 1/2. Як основні функції взяті заперечення (позначаєтьсяNx)та імплікація(Сху);похідними є кон'юнкція(Кху)і диз'юнкція(Аху).Тавтологія набуває значення 1.
Заперечення та імплікація відповідно визначаються матрицями (табл. 13, 14) та рівностями так: