Семантика логіки висловлювань
Перелік вихідних знаків (символів) та правил утворення формул складає синтаксис мови. Поки ми не надамо нашим знакам жодних значень, маємо лише деяку схему мови. Операція приписування певних значень виразам мови називається інтерпретацією. При цьому логічні константи отримують єдину і постійну для даної мови інтерпретацію, а змінні пропозиції у складі формул, – можуть отримати різні інтерпретації час від часу. Існування цієї інтерпретації визначає семантику мови. Інтерпретації підлягають лише значні висловлювання мови. Поряд із пропозиційними змінними до них належать тепер і формули. Інтерпретацію можна розбити на два етапи. У першому етапі вказуються лише типи можливих значень для значних висловів мови.
1.Пропозиційним знакам як предметні значення приписуються об'єкти з безлічі істиннісних значень – І (істина), Л (брехня). У цьому кожному пропозициональному знаку у разі інтерпретації приписується лише одне із зазначених значень. Звичайно, мається на увазі, що ці об'єкти (І, Л) є істинними значеннями якихось висловлювань, від смислових структур яких ми відволікаємось у мові логіки висловлювань.
2.Формулам приписуються значення того ж типу (І, Л) за такими правилами:
♦ Формула виду А & В має значення І, якщо тільки якщо значення А є І і значення В є І. В іншому випадку - якщо значення А, або значення В, або значення обох разом є Л - формула цього виду має значення Л.
♦ Формула виду А В має значення І якщо і тільки якщо – якась із її складових – А або В – має це значення.
♦ Значення А є І якщо і тільки якщо має місце якийсь ізвипадків (або обидва): значення А = Л чи значення У = І.
♦ Значення формули виду А є І якщо і якщо значення А = Л.
З цих правил видно, щокон'юнкція (&) у застосуванні до двох висловлювань А та В вказує на наявність насправді ситуацій, що описуються у висловлюваннях А та В. Вони відповідає союзу «і» природної мови при деяких типових його вживання.
Диз'юнкція ( ) у застосуванні до таких самих висловлювань вказує на наявність якоїсь із цих ситуацій, а, можливо, і обох. Вона є аналогом природномовного слова «або», коли воно вживається в розділовому сенсі.
Заперечення висловлювання А ( А) вказує на відсутність ситуації А.
Імплікація (). Ця зв'язка відповідає союзу «якщо ..., то ...» природної мови, що використовується для вираження деякого зв'язку між явищами дійсності. Наприклад:«Якщо з провіднику тече струм, то провідник нагрівається»чи«Якщо число закінчується на 0 чи 5, воно ділиться на 5»тощо. Логічна ж зв'язка «» є результатом певного спрощення сенсу цього союзу. В результаті цього спрощення істинними є, наприклад, такі висловлювання, як:«Якщо Ейфелева вежа знаходиться в Англії, то Париж столиця Англії»або«Якщо Ейфелева вежа знаходиться в Парижі, то Новосибірськ знаходиться в Сибіру ». Перше їх цих висловлювань істинно через помилковість першого члена імплікації, який називається антецедентом імплікації. Друге істинно через істинність другого члена імплікації, званого консеквентом імплікації. Незважаючи на таке спрощення, і навіть через його, ця зв'язка виявляється дуже корисною у складі описуваної мови при використанні її як інструментів для аналізупевних логічних процедур та відносин у рамках природної мови.
У результаті зазначеної інтерпретації логічних зв'язок кожна формула набуває певного сенсу. Вони є логічні форми можливих висловлювань. Назвемо такі формули напівінтерпретованими. Повна інтерпретація тієї чи іншої формули виходить у результаті приписування істиннісних значень пропозиційним змінним. Цілком інтерпретована формула – це деяке висловлювання нашої мови. Така інтерпретація формул цікавить логіку лише під час вирішення деяких конкретних завдань, наприклад, при обчисленні істиннісних значень складних висловлювань виду (p q) p при заданих значеннях його складових: значення р – Л (брехня), q – І (істина). Для обчислення всього виразу треба обчислити значення його складових (pq) та p.