Середні величини, що застосовуються у статистиці

За дисципліною: Статистика

Середня величина у статистиці, її сутність та умови застосування.

1.1. Сутність середньої величини та умови застосування………….4

1.2. Види середніх величин……………………………………………8

Список використаної літератури……………………………………………. 23

Для вивчення будь-якої сукупності за ознаками, що варіюють (кількісно змінюються) статистика використовує середні величини.

Сутність середньої величини

Середня величина - це узагальнююча кількісна характеристика сукупності однотипних явищ за однією ознакою, що варіює. У економічній практиці використовують широке коло показників, обчислених як середніх величин.

Найважливіша властивість середньої величини полягає в тому, що вона представляє значення певної ознаки у всій сукупності одним числом, незважаючи на кількісні відмінності його в окремих одиниць сукупності, і виражає загальне, що притаманне всім одиницям сукупності, що вивчається. Отже, через характеристику одиниці сукупності вона характеризує всю сукупність загалом.

Середні величини пов'язані із законом великих чисел. Суть зв'язку у тому, що з опосередкуванні випадкові відхилення індивідуальних величин з дії закону великих чисел взаємопогашуються й у середньої виявляється основна тенденція розвитку, необхідність, закономірність. Середні величини дозволяють порівнювати показники, які стосуються сукупностей з різною чисельністю одиниць.

Статистика вивчає масові явища та процеси. Кожне з таких явищ має як загальні для всієї сукупності, так і особливі, індивідуальні властивості. Різниця міжІндивідуальними явищами називають варіацією. Інша властивість масових явищ - властива їм близькість показників окремих явищ. Отже, взаємодія елементів сукупності призводить до обмеження варіації хоча б частини властивостей. Ця тенденція існує об'єктивно. Саме в її об'єктивності полягає причина найширшого застосування середніх величин на практиці та теорії.

Середньою величиною в статистиці називається узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища в конкретних умовах місця і часу, що відображає величину ознаки, що варіює, в розрахунку на одиницю якісно однорідної сукупності.

У економічній практиці використовується широке коло показників, обчислений як середніх величин.[1]

За допомогою методу середніх величин статистика вирішує багато завдань.

Головне значення середніх полягає у їх узагальнюючої функції, тобто заміні безлічі різних індивідуальних значень ознаки середньою величиною, що характеризує всю сукупність явищ.

Якщо середня величина узагальнює якісно однорідні значення ознаки, вона є типовою характеристикою ознаки у цій сукупності.

Однак неправильно зводити роль середніх величин лише до характеристики типових значень ознак у однорідних за даною ознакою сукупності. Насправді значно частіше сучасна статистика використовує середні величини, узагальнюючі явно однорідні явища.

Середня величина національного доходу душу населення, середня врожайність зернових по всій країні, середнє споживання різних продуктів – це показники держави як єдиної народногосподарської системи, це звані системні средние.[2]

Системні середні можуть характеризувати як просторові абооб'єктні системи, існуючі одномоментно (держава, галузь, регіон, планета Земля тощо.), і динамічні системи, протяжні у часі (рік, десятиліття, сезон тощо.).

Найважливіша властивість середньої величини у тому, що вона відбиває те загальне, властиво всім одиницям досліджуваної сукупності. Значення ознаки окремих одиниць сукупності коливаються у той чи інший бік під впливом безлічі чинників, серед яких може бути як основні, і випадкові. Наприклад, курс акцій корпорації загалом визначається її фінансовим становищем. Водночас, в окремі дні та на окремих біржах ці акції через обставини, що склалися, можуть продаватися за вищим або заниженим курсом. Сутність середньої в тому і полягає, що в ній взаємопогашуються відхилення значень ознаки окремих одиниць сукупності, зумовлені дією випадкових факторів, та враховуються зміни, спричинені дією основних факторів. Це дозволяє середній відбивати типовий рівень ознаки та абстрагуватися від індивідуальних особливостей, властивих окремим одиницям.

Обчислення середнього - одне із поширених прийомів узагальнення; середній показник відображає те загальне, що характерно (типово) для всіх одиниць сукупності, що вивчається, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі та його розвитку має місце поєднання випадковості та необхідності.

Середня – це зведена характеристика закономірностей процесу у умовах, у яких протікає.[3]

Середня величина це один з найважливіших узагальнюючих статистичних показників, що характеризує сукупність однотипних явищ за якоюсь кількісно варіюючою ознакою. Середні у статистиці це узагальнюючі показники, числа, що виражають типовіхарактерні розміри суспільних явищ за однією кількісно варіюючої ознакою.

Види середніх величин

Види середніх величин відрізняються передусім тим, яка властивість, який параметр вихідної варіює маси індивідуальних значень ознаки може бути збережений незмінним.

Середньою арифметичною величиною називається таке середнє значення ознаки, при обчисленні якого загальний обсяг ознаки в сукупності залишається незмінним. Інакше можна сказати, що середня арифметична величина – середній доданок. За її обчисленні загальний обсяг ознаки подумки розподіляється порівну між усіма одиницями сукупності.

Середня арифметична застосовується, якщо відомі значення ознаки (х) і кількість одиниць сукупності з певним значенням ознаки (f).

Середня арифметична буває простою та зваженою.

Середня арифметична проста

Проста використовується, якщо кожне значення ознаки зустрічається один раз, тобто. для кожного значення ознаки f=1, або якщо вихідні дані не впорядковані і невідомо, скільки одиниць мають певні значення ознаки.

Формула середньої арифметичної простий має вигляд:

де – середня величина; х – значення осредняемого ознаки (варіанту), - число одиниць сукупності, що вивчається.

Середня арифметична зважена

На відміну від простої середньої, середня арифметична зважена застосовується, якщо кожне значення ознаки х зустрічається кілька разів, тобто. кожного значення ознаки f≠1. Ця середня широко використовується при обчисленні середньої на підставі дискретного ряду розподілу:

де - число груп, х - значення ознаки, що осредняется, f - вага значення ознаки (частота, якщо f - числоодиниць сукупності; частота, якщо f- частка одиниць з варіантом х у загальному обсязі сукупності).

Середня гармонійна

Поряд із середньою арифметичною, у статистиці застосовується середня гармонійна величина, обернена середньою арифметичною зі зворотних значень ознаки. Як і середня арифметична, вона може бути простою та зваженою. Застосовується вона тоді, коли необхідні ваги (fi) у вихідних даних не задані безпосередньо, а входять співмножником в одні з наявних показників (тобто тоді, коли відомий чисельник вихідного співвідношення середньої, але невідомий його знаменник).

Середня гармонійна зважена

Твір xf дає обсяг ознаки х для сукупності одиниць і позначається w. Якщо вихідних даних є значення осредняемого ознаки х і обсяг осредняемого ознаки w, то розрахунку середньої застосовується гармонійна зважена:

де х - значення ознаки х (варіанту); w - вага варіанти х, обсяг ознаки, що осредняется.

Середня гармонійна не зважена (проста)

Ця форма середньої, що використовується значно рідше, має такий вигляд:

де х - значення ознаки, що осредняется; n - Число значень х.

Тобто. це обернена величина середньої арифметичної простий зі зворотних значень ознаки.

Насправді середня гармонійна проста застосовується рідко, тоді, коли значення w для одиниць сукупності рівні.

Середня квадратична та середня кубічна

У ряді випадків в економічній практиці виникає потреба розрахунку середнього розміру ознаки, вираженої у квадратних чи кубічних одиницях виміру. Тоді застосовується середня квадратична (наприклад, для обчислення середньої величини сторони таквадратних ділянок, середніх діаметрів труб, стовбурів тощо) та середня кубічна (наприклад, при визначенні середньої довжини сторони та кубів).

Якщо при заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінною суму квадратів вихідних величин, то середня буде квадратичною середньою величиною, простою або зваженою.

Середня квадратична проста

Проста використовується, якщо кожне значення ознаки х зустрічається один раз, загалом має вигляд:

де - Квадрат значень середньої ознаки; - Число одиниць сукупності.

Середня квадратична зважена

Середня квадратична зважена застосовується, якщо кожне значення ознаки х зустрічається f разів:

де f - вага варіанти х.

Середня кубічна проста і зважена

Середня кубічна проста є кубічним коренем із приватного від поділу суми кубів окремих значень ознаки на їх число:

де - значення ознаки, n- їх число.

Середня кубічна зважена:

де f-вага варіанти х.

Середні квадратична та кубічна мають обмежене застосування у практиці статистики. Широко користується статистика середньої квадратичної, але з самих варіантів x,і їх відхилень від середньої при розрахунку показників варіації.

Середня може бути обчислена не для всіх, а для будь-якої частини одиниць сукупності. Прикладом такої середньої може бути середня прогресивна як одна з приватних середніх, яка обчислюється не для всіх, а тільки для "кращих" (наприклад, для показників вище або нижче за середні індивідуальні).

Середня геометрична

Якщо значення середньої ознаки істотно відстоять один від одного абозадані коефіцієнтами (темпи зростання, індекси цін), то для розрахунку застосовують середню геометричну.

Середня геометрична обчислюється вилученням кореня ступеня та з творів окремих значень - варіантів ознаких:

де n - Число варіантів; П – знак твору.

Найбільш широке застосування середня геометрична отримала визначення середніх темпів зміни у лавах динаміки, і навіть у лавах розподілу.

Середня відбиває те загальне, що складається у кожному окремому, одиничному об'єкті завдяки цьому середня отримує велике значення виявлення закономірностей властивих масовим суспільним явищам і непомітних в одиничних явищах.

Визначити середній курс купівлі та середній курс продажу одного та $ США