Сферичні сполуки
Максимальна напруга σmax у поверхневому шарі при стисканні двох сфер, виконаних з однакового матеріалу, за Герцом
де Р - навантаження, що діє на з'єднання, Н; Е - модуль нормальної пружності матеріалу сфер, МПа; d - діаметр меншої сфери, мм; σ0 - безрозмірна величина,
де а = D/d - відношення діаметрів більшої та меншої сфер; знак плюс відноситься до випадку зовнішнього контакту (обидві поверхні опукли), мінус - до внутрішнього контакту (одна з поверхонь увігнута).
Несуча здатність сполуки згідно з формулою (83)
Значення σ0 наведено на рис. 219 для трьох випадків навантаження; сфера за сферою, сфера у сферичному увігнутому гнізді та сфера за площиною (a = ∞).
Величина σ0, отже, і напруги максимальні (σ0 = 1,59) при стисканні двох сфер однакового діаметра (а = 1). Зі збільшенням діаметра однієї із сфер σ0 знижується, стаючи рівною σ0 = 1 при а = ∞.
При опорі на увігнуту сферичну поверхню напруги значно менше і різко падають із зменшенням a, тобто з наближенням діаметра увігнутої сферичної поверхні до діаметра сфери, прагнучи нуля при а = 1 (діаметр увігнутої сферичної поверхні дорівнює діаметру сфери).
Це, звісно, значить, що напруги зникають, лише показує, що формула Герца незастосовна при а ≈ 1, оскільки у разі порушується одне з основних припущень теорії (незначність розмірів майданчика стискування проти розмірами сфер). При а 2).
Відповідно до формул (83) і (84) напруги при заданому навантаженні Р обернено пропорційні d 2/3 , а навантаження при заданій напрузі пропорційна d 2 .
На рис. 220 а наведені підраховані за формулою (83) максимальні напруги σmax (прийнято Е = 2,1·10 5 МПа,Р = 1) функції діаметра d сфери при різних значеннях а. Напруги падають із збільшенням d і різко знижуються зі зменшенням а. При а = 1,02 напруги в 13,5 рази менше, ніж при а = ∞ (опора на площину), і приблизно в 20 разів менше, ніж при а = 1 (стиснення сфер однакового діаметра).
Ще значніше впливає на навантажувальну здатність. На рис. 220 б наведена підрахована за формулою (84) граничне навантаження при σmax = 1000 МПа. Як видно з діаграми, навантаження при а = 1,02 у 2500 разів більше, ніж при а = ∞.
Фактор Р/d 2 у формулі (83) зручно замінити величиною
де σсж - напруга стиснення, що виникає під дією сили Р в центральному перерізі сфери (напруга реальна для повних сфер і умовна для тіл з обмеженою сферичною поверхнею).
Вводячи цю величину формулу (83) і приймаючи Е = 2,1·10 5 МПа, отримуємо
З цієї формули складено графік до розрахунку сферичних сполук (рис. 221).
приклад 1 . Знайти максимальну напругу в кульці d = 10 мм, опертом на площину та навантаженою силою Р = 150 Н. Напруга стиснення σсж = Р/0,785d 2 = 150/78,5 ≈ 2МПа.
Вирушаючи від точки сж = 2 МПа на осі абсцис до зустрічі з лінією а = ∞, знаходимо на осі ординат σmax = 2400 МПа.
При опорі у сферичному гнізді а = 1,02 напруга згідно з графіком падає до 180 МПа, тобто в 13,5 рази.
Приклад 2 . Знайти силу, яку може нести кулька діаметром 10 мм, оперта у сферичному гнізді з а = 1,02 при напрузі σmах = 1000 МПа.
Проводячи від точки σmах = 1000 МПа на осі ординат горизонталь до зустрічі з лінією а = 1,02 знаходимо на осі абсцис σсж = 330 МПа. Отже, Р = σсж0,785d 2 = 330 · 0,785 · 10 2 = 2,6 · 10 4 Н.
Приклад 3 . Задано навантаження Р = 10 5 Н. Допустименапруга σmах = 1000 МПа. Знайти діаметр кульки, що задовольняє цій умові, опертої у сферичному гнізді з а = 1,02.
Згідно з попереднім σсж = 330 МПа. Діаметр кульки за формулою (85)
При опорі на площину (а = ∞) напруга стиснення згідно з діаграмою була б σсж = 0,15 МПа
Так як матеріал на майданчику контакту працює в умовах всебічного стиснення, то при розрахунку контактних зчленувань допускають високу напругу 1000-2500 МПа. (При ударному навантаженні допустимі напруги знижують у 2-3 рази.)