ШЛЯХИ ДО ХАОСУ
Від періодичних рухів до хаотичних через зміну параметрів. Ставлячи будь-який із згаданих тестів на хаотичні коливання, слід спробувати змінити один або більше параметрів, що визначають стан системи. Наприклад, у разі вигнутої структури (див. рис. 2.2) можна змінювати амплітуду сили, що змушує, або її частоту, а в нелінійному ланцюгу можна варіювати опір. Мета цієї процедури — з'ясувати, чи не виявляє система стаціонарної чи періодичної поведінки у певній галузі простору параметрів. Таким чином, можна переконатися, що система дійсно детермінована і не містить прихованих зовнішніх або внутрішніх джерел випадкового шуму.
Змінюючи параметр, слід стежити за появою періодичного відгуку. Одним із характерних провісників хаотичного руху є поява субгармонічних періодичних коливань. Взагалі кажучи, передхаотичне стан може приймати різні форми. Як чисельні, і фізичні експерименти виявляють кілька моделей предхаотичного поведінки (див., наприклад, [42, 89]).
Шлях до хаосу через подвоєння періоду. Коли спостерігається явище подвоєння періоду, у початковому стані система здійснює основний періодичний рух. Потім, у міру зміни будь-якого параметра експерименту - назвемо його - відбувається біфуркація або зміна руху на періодичний з періодом, що вдвічі перевищує період вихідних коливань. З подальшою зміною система схильна до послідовних біфуркацій, при кожній з яких період подвоюється. Чудова властивість цього процесу в тому, що критичні значення, при яких відбуваються послідовні подвоєння періоду, підкоряються при наступному автомодельному співвідношенні (див. також гл. 1):
(2.11)
(Кількість називається числом Фейгенбаума — на ім'я фізика, який виявив цю автомодельну поведінку.) На практиці це ставлення сходить до 6, вже за третьої чи четвертої біфуркації.
Процес подвоєння періоду має точку згущення поблизу деякого критичного значення параметра, після якого рух стає хаотичним.
Це спостерігалося у низці фізичних систем, і навіть при чисельному моделюванні. Найпростіше математичне рівняння, за допомогою якого можна пояснити таку поведінку, це одновимірне різницеве рівняння (див. гл. 1)
Коли параметр системи стає більше критичного значення, у певних діапазонах значень параметра рух стає хаотичним. Однак такі діапазони можуть мати кінцеву ширину; іншими словами, при зміні параметра можуть траплятися вікна періодичного руху. У цьому режимі періодичні рухи можуть проходити через біфуркації подвоєння періоду, знову призводячи до хаотичного руху (див. Розд. 5.3).
Отже, провісником таких хаотичних рухів є наявність двох одночасних періодичних коливань.
Мал. 2.17. Схематичне зображення руху пари пов'язаних осциляторів і площину Пуанкаре, яка дозволяє простежити кваеіперіодичний шлях до хаосу.
Коли частоти цих коливань непорівнянні, рух, що спостерігається сам по собі неперіодично, його називають квазіперіодичним (див. (2.4)). Як обговорювалося вище, відображення Пуанкаре квазіперіодичного руху є замкненою кривою на фазовій площині (рис. 2.17). Такі рухи можна уявити на поверхні тора, а відображення Пуанкаре утворюється перетином тора площиною (див. рис. 2.17). Якщо непорівнянні, то траєкторіїповністю покривають поверхню тора. Якщо ж раціональне число, то траєкторія зрештою замкнеться на торі, хоча до цього вона може зробити багато обертів по обох кутових координатах. У цьому випадку відображення Пуанкаре розпадається на набір точок, що загалом вишиковуються вздовж кола. У такій системі хаотичні рухи часто характеризуються руйнуванням квазіперіодичної тороїдальної структури при зміні параметра системи (рис. 2.18).
Ознаки такого тричастотного переходу до хаосу спостерігалися протягом двох циліндрів, що обертаються (течії Тейлора — Куетта), в якому зі зміною швидкості обертання з'являються вихори.
Мал. 2.18. а - Відображення Пуанкаре для квазіперіодичного руху в тепловій конвекції Релея - Бенара при відношенні частот, близьких до ; б - руйнування тороїдальної поверхні перед появою хаосу [9].
Мал. 2.19. Свідоцтва переходу до хаосу через тричастотний режим протягом між обертовими циліндрами (течі Тейлора - Куетта); різниця кутових швидкостей обертання зростає зверху донизу [183].
На рис. 2.19 показано три спектри Фур'є, отримані в одному з таких експериментів. На верхньому малюнку, безперечно, присутній один періодичний рух, а на середньому помітні вже два основні рухи. На нижньому малюнку видно сліди широкосмугового шуму, що збільшився, характерного для хаотичної поведінки.
Перемежування. На третьому шляху до хаосу тривалі інтервали періодичного руху перемежовуються зі спалахами хаосу. Ця схема називається перемежуванням. У міру зміни параметра спалаху хаосу стають дедалі частішими та тривалішими (див., наприклад, [125]). Повідомлялося про вказівки на цю модель передхаотичного стану в експериментах з конвекцієюосередку (замкнутому прямокутному обсязі) з градієнтом температури (називається конвекцією Релея — Бенара) (див. рис. 2.20).
Мал. 2.20. Віл еволюції при хаосі типу, що перемежується.
Як передбачають деякі моделі перемежування, середня тривалість хаотичної або турбулентної фази руху певним чином змінюється зі зміною деякого параметра системи; наприклад, ця залежність може мати вигляд
де — значення, у якому періодичний рух стає хаотичним.
Слід зауважити, що в деяких фізичних системах при різних значеннях параметрів можна спостерігати всі три типи передхаотичних коливань і більше. Перевага ототожнення конкретної структури передхаотичного руху з однією з цих «класичних» моделей полягає в тому, що кожна з них докладно досліджена математично, а це може допомогти краще зрозуміти хаотичне фізичне явище, що вивчається.