СИЛЬНА АСИМПТОТИКА ДВОХТОЧНИХ АППРОКСИМАЦІЙ ПАДІ БАГАТОЗНАЧНИХ ФУНКЦІЙ СТІПЕННОГО ВИДУ - тема
Ціна:
Автори роботи:
Науковий журнал:
Рік виходу:
Текст наукової статті на тему «СИЛЬНА АСИМПТОТИКА ДВОХТОЧНИХ АППРОКСИМАЦІЙ ПАДІ БАГАТОЗНАЧНИХ ФУНКЦІЙ СТІПЕННОГО ВИДУ»
ДОКЛАДИ АКАДЕМІЇ НАУК, 2014, тому 455, № 2, с. 138-141
У теорії апроксимацій Паде (АП) добре відома теорема Шталя [11] (див. також [1]) про збіжність діагональних АП (з центром у точці г = так), справедлива, зокрема, у класі багатозначних аналітичних функцій з кінцевим числом точок розгалуження на рімановій сфері. Нещодавно у роботі В.І. Буслаєва [4] у цьому класі аналітичних функцій була доведена теорема, що узагальнює теорему Г. Шталя на випадок двоточкових (у точках г = 0 і г = так) АП пари функцій: / голоморфної у точці г = 0 (/ е Ж(0) ) та/ш голоморфної в точці г = так (/Ш е Ж(так)). Принципова відмінність теореми Буслаєва у тому, що у цьому завдання у " типовому випадку " відбувається
ського поведінки всіх нулів поліномів Паде залишається відкритим. Зазначимо, що навіть для класичних АП це завдання досі не вирішене (див. [2]).
Ми вивчатимемо двоточкові АП, побудовані за двома паростками ю0 і юш (у точках 0 і так відповідно) однієї і тієї ж багатозначної аналітичної функції наступного виду:
ю(г) = ю(г; М, а): = П(г - а-
де р > 2, а,- е С\Ж,
ар - довільні різні точки в
розбиття риманової сфери на дві області Б0 Е 0 С * = С; М = , а =
і Е так, що елемент/0 аналітично продовжується в область Б0, елемент/ - в область Бш, а діагональна двоточкова АП, побудована по /0 е Ж(0) і/ е Ж(так), сходиться за ємністю до функції/ 0 е Ж(Б0) на компактних підмножинах області Б0 і до функції/е Ж(БШ) на компактних підмножинах області Бш. КомпактГ = дБ0 та дБШ зв'язаний і складається з кінцевого об'єднання аналітичних дуг. У [4] доведено, що існує граничний розподіл нулів двоточкових поліномів Паде (див. (3)), що збігається з рівноважною мірою X компакту Г у полі потенціалу
ф(г): = 11пг. Тим самим у [4] вирішено питання про
асимптотичному поведінці " майже всіх " нулів таких поліномів Паде крім о(п) їх (тобто. знайдено слабка асимптотика цих поліномів Паде). Питання про повний опис асимптотич-
Математичний інститут ім. В. А. Стеклова української Академії наук, Москва
У цій роботі для двоточкових АП, побудованих по парі паростків ю0 ю, юш ю, отримано диференціальне рівняння другого порядку з поліноміальними акцесорними параметрами (див. теорему 1), аналогічне диференціальному рівнянню Лагерра для класичних АП. також [8-10]). Потім для випадку р = 2 за допомогою цього рівняння вирішується задача про сильну асимптотику двоточкових поліномів Паде, побудованих за двома паростками багатозначної функції
ю(г) = ю(г; аь а2, а) := (г - а1) а(г - а2)-а (2)
(Див. теорему 2). Це зроблено аналогічно роботам [7, 8, 10], а саме головний член асимптотичного уявлення будується за допомогою методу ЬО-наближень [5, глава 2, § 2, п. 2.1] для рішень отриманого рівняння. При цьому аналогічно тому, як у [10] і [8] використовується теорема Шталя [11] для класичних АП, тут ми використовуємо теорему Буслаєва [4]. Оцінки залишкових членів виявляються порядку 01). У випадку звичайних АП (2) завжди можна вибрати а1 = 1,
СИЛЬНА АСИМПТОТИКА ДВОТОЧКОВИХ АППРОКСИМАЦІЇ ПАДЕ
а2 = -1 і при а е (-1, 1) поліноми Паде збігаються
2. ДВОХТОЧНІ АП І ТЕОРЕМА БУСЛАЄВА
Наведемо визначення двоточкових АП. Нехай / 0 е Ж (0), / е Щда).Двоточкові поліноми Паде Рп, е Рп := Сп [г], побудовані по парі паростків /0, /а, визначаються із співвідношень
f(z), z 6 С \Г, гає f(z) = fo(z) при
(Qnfo - Pn)(z) = O(zn +1), z - 0, (QX - Pn)(z) = O(1), z -так,
Qn Щ 0. Поліноми Pn, Qn визначені неоднозначно, але раціональна функція Pn/Qn єдина (з точністю до стандартного ототожнення раціональних функцій) і називається двоточковою апроксимацією Паді пари паростків ^ О, f (див. [1, 4]).
Тепер сформулюємо теорему Буслаєва для двоточкових АП. Для довільного полінома Q 6 C[z] позначатимемо міру, що вважає його нулі, через (Q) = ^ .
Теорема Буслаєва (див. [4]). Нехайf0 6 6 Ж(0), f 6 Ж(так) — паростки (в 0 і так) двох багатозначних аналітичних функцій з кінцевим числом
точок розгалуження С. Тоді існує єдиний компакт Г = Г(/0, fj ^ 0, так, що складається з кінцевого числа аналітичних дуг, такий що:
1) його доповнення З \Г - це або дві області D0 Е 0 і Dx Е так, або одна область D Е 0, так (у цьому випадку вважаємо D0 = Drrj = D);
2) f0 триває до однозначної голоморфної функції D0, f - до однозначної голоморфної функції Dx;
3) для нормованих заходів, що вважають, vn =
= 1 (Pn), n = 1 (Qn) двоточкових поліномів n n
Паді Pn і Qn маємо: vn, n - A, n - так, де A = Аг - (єдина) рівноважна міра для компакту Г в
поле 9 (z): = 1 lnz \, тобто. носій A збігається з Г - Jin z - tdA(t) + I ln z \ = const, z 6 Г;
^ е Б0 і /(г) = /х(1) при z е Бш, а збіжність розуміється як збіжність за ємністю на компактних підмножинах у Б0 і відповідно.
Через теорему Буслаєва (пункт 2) ми можемо визначити функцію залишку для двоточкових
К(г) := (ОпГ-Рп)(г), г е С\Г, (4)
де/(¿) = /)(г)при г е Б і/(¿) = /М) при г е Бш.
3. ДИФЕРЕНЦІЙНЕ РІВНЯННЯ ДЛЯ ДВОТОЧКОВИХ АП
Тепер ми переходимо до вивчення двоточкових АП функцій, що цікавлять нас. Скрізь далі вважаємо ю0 е Ж(0), юш е Ж(так) — два паростки однієї багатозначної функції ю(г) = ю(г; а) (див. (1)), а Рп(г) = Рп(г ю0, юш), Qn(z) = Оп(г; ю>0, юш) і Д,(г) = = Яп(г; ю0, юш) — побудовані за ними двоточкові поліноми Паде (див. (3) ) та функція залишку (див. (4)).
Ми припускаємо, що виконані такі умови "загального положення" на розташування точок а> і величини показників ау: ?§ Рп = ?§ 0п = п,
вд = с^п + 1 +. С1ф 0, г - 0, ВД = С2 + с +.
Теорема 1. Нехай виконані умови "загального стану". Тоді поліноми Рп(г) та функція залишку Яп(г) є двома незалежними рішеннями наступного диференціального рівняння:
де Нп(1) = гР-1 +. е Рр-1, qn(z) = ^2р-3 +. е
е Р2р-з, А = П(г - а), В = АЮ' е Рр-2. 1 = 1
Поліноми Нп і qn – невідомі акцесорні параметри рівняння (5). Зазначимо, що у висновку
рівняння (5) ключову роль відіграє те, що -
4. ВИПАДКИ Р = 2. ФОРМУЛИ СИЛЬНОЇ АСИМПТОТИКИ
Нехай р = 2, тоді ю(г) = (г - а1) а (г - а2)-а. Припускатимемо, що а е С\0; а1 C3 > 0, n gA.
Тоді в області Б0 при п ^ так, п е Л, для нормованих функції залишку Яп і полінома 0п справедливі такі формули сильної асимптотики:
r (z) = ( ю 0 (z) (z - zn)) 1/2z(n + 1)/2 х
х exp j-ny(z) + 2"(z; zn) + u(z; zn)(1 + O(n)) ,
Юо ( z )1/2( A ( z )V( z))
де р = р(ю0, юш) залежить від п, знак ± відповідає тому, якому з двох листів лежить точка гп. Рішення рівняння (7) завжди існує і єдино, у типовому випадку безліч
х exp i z) ± 2" (z; zn) + u (z; zn) 1 + OQ-J). (11)
Формула (2) справедлива рівномірно на К\іє(гп), де К з Б0 - довільний компакт, ие(гп), 6 > 0, - довільна 6-околиця гп. Аналогічна формула має місце у області Бш.
З теореми 2 випливає, що в класі функцій виду (2) єдиною перешкодою для рівномірної збіжності Рп/Оп до функції ю0 Б0 і до юш є наявність точки гп. Таким чином, має місце формула для швидкості збіжності двоточкових АП.
Наслідок 1. В умовах теореми 2 для довільного компакту К з Б0 при п ^ так, п е Л, маємо
і(г; О = /1(0«1(г) + /¡(О^Сг), де /1, /2 - деякі еліптичні інтеграли, що явно обчислюються, шлях інтегрування в (6) і (8) вибирається один і той же.
де г е К\іЕ(гп), и£(гп) — довільна 6-околиця
точки гп; оцінка Л виконується рівномірно на
К\іє(гп). Аналогічна формула має місце й у Бш.
СИЛЬНА АСИМПТОТИКА ДВОХТОЧНИХ АППРОКСИМАЦІЙ ПАДЕ
1. Аптекарєв А.І., Буслаєв В.І., Ма
Для подальшого читання статті необхідно придбати повний текст. Статті надсилаються у форматіPDFна вказану при оплаті пошту. Термін доставки становитьменше 10 хвилин. Вартість однієї статті -150 рублів.