Simulation & Elimination of Instrument Distortion
Вимірювання є одним із найважливіших шляхів пізнання природи людиною. Даючи кількісну характеристику навколишнього світу, вони є джерелом інформації про закономірності, що діють у природі. Фізика стала іменуватися точною наукою тільки тому, що завдяки вимірам вона отримала можливість встановлювати точні кількісні співвідношення, що виражають об'єктивні закони природи.
До широкого впровадження обчислювальної техніки фізики вирішували складні завдання в основному приблизно, наприклад, попередньо застосовуючи малопараметричний опис функцій, що обробляються, що в неявному вигляді є використанням апріорної інформації про очікуваний результат. Обчислювальні можливості ЕОМ породили ілюзію про відсутність необхідності в такій інформації: можна вирішити завдання будь-якої складності, якщо принципово рішення існує, навіть якщо для цього доведеться, наприклад, вирішити систему з 20-40 рівнянь або звернути матрицю розмірністю 100х100. Проте одержувані у своїй результати немає фізичного сенсу. Тоді математики сформулювали поняття"некоректне зворотне завдання", назвавши так завдання вилучення інформації з масиву експериментальних даних у випадках, коли суворе однозначне рішення принципово існує, але це рішення дуже "чутливе" до похибки експерименту і навіть до обмеженої точності обчислень, так що зміна вихідних даних на частки відсотка може призвести до зміни результатів розрахунку у сотні разів, що просто суперечить здоровому глузду.
Прикладом некоректної зворотної задачі євиключення апаратних спотворень. З апаратними спотвореннями ми стикаємося під час виконаннядинамічних вимірів, тобто. вимірювань, при яких потрібно знайти не одне просте значення будь-якої фізичноївеличини, а функцію, залежність між фізичними величинами (наприклад, залежність напруги від часу на виході деякого електронного пристрою, залежність інтенсивності від довжини хвилі випромінювання на виході спектроскопічного приладу тощо) У рамках моделі інваріантного лінійного фільтра (що відповідає практично всім реальним вимірювальним пристроям) вважається, що результат вимірювання є згорткою вхідного сигналу з апаратною функцією приладу:
деfout іfin - вихідний та вхідний сигнали відповідно, аg-апаратна функціяприладу (імпульсний відгук, вагова функція) . Апаратна функція приладу відповідає реакції приладу на поданий на його вхід δ-імпульс (див. рис.)
У деяких випадках такого спотворення не можна ігнорувати (вони можуть бути обумовлені, наприклад, інерційністю приладу). Причому у ряді випадків можливе відновлення вихідного сигналу (так звана"редукція до ідеального інструменту"). Але шуми та похибки вимірів є серйозною перешкодою при використанні цього методу. Розв'язання цієїнекоректної зворотної задачінеможливе без використання апріорної інформації про сигнал, що відновлюється. Це завдання зводиться до вирішення інтегрального рівняння згортки (1.1). Широко відомий спосіб розв'язання цього рівняння - використання теореми про згортку. Фур'є-образ результату згортки дорівнює добутку фур'є-образів компонентів згортки:
де під оператором Φ мається на увазі перетворення Фур'є. Очевидно, що для знаходження вхідного сигналу достатньо знайти приватне фур'є-образів вихідного сигналу та апаратної функції, а потім виконати зворотне перетворення Фур'є. За наявності у вихідному сигналі шумів (що неминуче в реальних експериментах) ситуація ускладнюється:
Слід зазначити, що майже рівномірний спектр шумів Φξ> на високих частотах значно перевищує спектр апаратної функції Φg>, що веде до необмеженого зростання другого доданку і, відповідно, спектра відновленого сигналу Φfrest> на високих частотах. В результаті буде отримана лише швидко осцилююча функція, яка не має нічого спільного з вихідним сигналом. Очевидним рішенням цієї проблеми є застосування фільтра, що обмежує спектральний діапазон, що розглядається. Обмежуючи спектральний діапазон приладу, ми зменшуємо вплив шумів, але водночас погіршуємо роздільну здатність приладу, втрачаючи дрібні деталі вхідного сигналу. Обмеження спектрального діапазону, що розглядається, еквівалентно використанню апріорної інформації про те, що вихідна функція була гладкою.
Наведений нижче аплет послідовно перебирає П-фільтри різної ширини (w), намагаючись виключити апаратні спотворення функції Fout . Спектр перед відновленням (з накладеним П-фільтром) показаний зеленим кольором - FFrest . Результат відновлення (Frest) - червоним. Ви можете поекспериментувати з апаратною функцією (g(x)) іншої "ширини" (spread width) або з рівнем шумів ("noise").
Ваш браузер в даний момент не дозволяє запустити аплет. Деякі уявлення про характер впливу ширини П-фільтра можна отримати за допомогою цієї картинки:
