Системи лінійних рівнянь
Розглянемо сукупність умов
деaij,bi- числа, аxj- літери. Сукупність цих умов називається системою лінійних рівнянь щодо невідомихx1, . . .,xn. Послідовність чиселr1, . . . ,rn називається рішенням системи ( ), якщо за підстановці цих чисел замість відповідних невідомих отримуємо істинні рівності. Систему рівнянь називають спільною, якщо вона має хоча одне рішення. Інакше її називають суперечливою. Спільну систему рівнянь називають певною, якщо має єдине рішення. Якщо система рівнянь має більше рішення, то систему називають невизначеною. Вводячи матриці
A = ,x = ,b =
систему ( ) можна записати у матричній формі
Ax = b. ( )
Матриця А називається матрицею системи, а матриця
B =
називається розширеною матрицею системи. Вводячи на розгляд вектор
a 1 = , . . . ,a n =
систему ( ) можна записати у векторній формі
Система лінійних рівнянь називається крамеровською, якщо число рівнянь збігається з числом невідомих і визначник матриці системи відмінний від нуля.
Розглянемо методи розв'язання таких систем.
У §3 ми зазначали, що у цьому випадку квадратна матриця має зворотну. Отже, можна помножити обидві частини рівності ( ) зліва А - 1 . В результаті цієї операції отримаємо
x = A - 1b. ( )
Назад, помножуючи співвідношення ( ) зліва на А отримаємо ( ). Таким чином, умови ( ), ( ) рівносильні, і тому формулу ( ) можна розглядати як формулу, що вирішує крамеровську систему лінійних.рівнянь. Для матриці А існує лише одна зворотна матриця, отже, кожна крамеровська система має одне і одне рішення.
Формула ( ) показує, що невідомеxiможна отримати множенням i-го рядка матриці А - 1 на стовпецьb. Звідси, скориставшись формулою ( ) з §3, отримаємо
xi= ( ïAçi1b1+ . . . + ïAênibn)
або, в остаточній формі,
xi =
Формули ( ) називаються формулами Крамера на честь математика середини минулого століття, у роботі якого вони вперше з'явилися.
Для знаходження рішення за формулами Крамера потрібно визначити визначники
D = , D 1 = , D 2 = , D 3 =
Щоб обчислити визначник D, віднімаємо з 2-го і 3-го рядки матриці визначника перший рядок, помножений відповідно на2і4. В результаті отримаємо
D = = 1 ' = - 21 + 6 = 15.
Аналогічно отримуємо, що D 1 = 30, D 2 = -45, D 3 = 15. Використовуючи формули Крамера, знаходимо
x1= = 2,x2= = -3,x3= = 1.
Формули Крамера дають рішення системи лінійних рівнянь через коефіцієнти цих рівнянь, але фактичного знаходження рішень за формулами ( ) потрібно виконати велика кількість обчислювальних операцій. Економічнішими з обчислювальної точки зору є методи послідовного виключення невідомих. Один із них, належним чином упорядкований, називається методом Гауса.
Отже, розглянемо крамєрівську систему лінійних рівнянь
Без обмеження спільності вважатимуться, що коефіцієнта11приx1відмінний від нуля, інакше ми можемо поміняти місцями рівняння. Розділимо всі члени першого рівняння наа11в результаті отримаємосистему виду
Потім з кожного 2-го, 3-го, . . . , n-го рівняння віднімаємо почленно 1-е рівняння, помножене відповідно наa21,a31, . . . ,an1. Після цього наша система буде рівносильна системі виду
В отриманій системі чинимо так само з усіма рівняннями, починаючи з другого. Потім переходимо до розгляду рівнянь, починаючи з третього. Продовжуючи цей процес, ми отримаємо в результаті трикутну систему виду
До отриманої системи застосуємо процедуру послідовного знаходження невідомих. Останнє рівняння системи дає значенняx n. Підставивши отримане значення передостаннє рівняння знайдемо значення невідомоїx n-1і т. д. В результаті знайдемо значення всіх невідомихx1, . . . ,x n.
З 2-го та 3-го рівняння віднімаємо почленно 1-е рівняння, помножене відповідно на2та1. Після цих операцій отримаємо систему
Ми виключилиx1з 2-го та 3-го рівняння. Для виключення невідомоїx3з 3-го рівняння розділимо всі члени 2-го рівняння на2
Потім з 3-го рівняння віднімаємо 2-ге, помножене на3. В результаті отримаємо
Розділивши 3-е рівняння на 5.5, знаходимоx3 = 4. Підставляючиx3у 2-е рівняння, отримаємоx2 - 1.5' 4 = -3абоx2 = 3. Підставляючи знайдені значення в 1-е рівняння, отримаємоx1 + 3'3 + 4 = 14абоx1 = 1.
Іншу реалізацію методу виключення невідомих можна назвати методом діагоналізації. Даний метод відрізняється від методу Гауса тим, що в ньому кожне з невідомихxkвиключається зі всіх рівнянь крім одного. Таким чином, він доводить рішення системи до кінця і не вимагає застосування процедури послідовного знаходження невідомих. Часто рішенняоформляється у матричному або табличному вигляді.
Розглянемо розширену матрицю системи
.
Наведемо матрицю системи до поодинокого виду. Тоді в останньому стовпці отримаємо рішення системи. Віднімаємо з 2-го та 3-го рядків перший, помножений відповідно на3та2. Після виконання операцій отримаємо матрицю
.
Розділимо 3-й рядок на -1 і переставимо з 2-м рядком. Отримаємо матрицю
.
Віднімаємо з 1-го та 3-го рядків другий, помножений відповідно на1та-2. Отримаємо матрицю
.
Наприкінці, віднімаємо з 1-го та 2-го рядків третій, помножений відповідно на1та-3. В результаті отримаємо
.