Складові балки та переміщення при згинанні (Лекція №21)
ПОНЯТТЯ ПРО СКЛАДНІ БАЛКИ
Роботу складових балок проілюструємо на простому прикладі тришарової балки прямокутного поперечного перерізу. Якщо шари між собою не пов'язані і сили тертя між ними відсутні, кожен з них деформується як окрема балка, що має свій нейтральний шар (рис. 1,а). Навантаження між цими балками розподіляється пропорційно до їхніх жорсткостей при вигині (у даному прикладі порівну). Це означає, що моменти інерції і моменти опору трьох незалежно один від одного балок, що деформуються, повинні бути підсумовані
Якщо скріпити балки зварюванням, болтами або іншим способом (рис. 1,б), то з точністю до нехтування податливістю накладених зв'язків перетин балки працюватиме як монолітний з моментом інерції та моментом опору, що дорівнює
Як видно, при переході до монолітного перерізу жорсткість балки зростає в дев'ять разів, а міцність втричі. В інженерній практиці найбільш поширені зварні двотаврові балки.
а) незв'язана конструкція,б) пов'язана зварна конструкціяРис.1.Розрахункові схеми складових балок:
ДИФЕРЕНЦІЙНЕ РІВНЯННЯ ПРЯМОГО ВИГИБУ ПРИЗМАТИЧНОГО СТЕРЖНЯ
Визначено, що мірою деформації призматичного стрижня при чистому прямому згині є кривизна нейтрального шару. Можна показати, що з достатньою для інженерних розрахунків точністю цією тезою можна користуватися і у разі прямого поперечного вигину стрижня. Однак для практичних цілей крім кривизни необхідно визначити вертикальні переміщення центрів тяжкості окремих поперечних перерізів прогинів балкиv, а іноді і кути повороту цих перерізів (рис. 2). Внаслідок гіпотези плоских перерізів кут повороту перерізу (виявляється рівним куту нахилудотичної до вигнутої осі балки, який через малість
Тоді виникає геометричне завдання: скласти рівняння функції прогину,знаючи закон зміни її кривизни.
Рис.2.Розрахункова схема визначення переміщень при згинанні
Скористаємося відомим з диференціальної геометрії виразом для кривизни у прямокутних декартових координатах:
Однак, враховуючи, що в інженерній практиці застосовуються досить жорсткі балки, для яких найбільший прогинf(рис.2) малий у порівнянні з довжиною (f/l 2
Рис.3.Приклади граничних умов:а) двоопорна,б) консольна балки
Диференціальне рівняння не застосовується для розрахунку статично невизначених балок, оскільки містить невідомий згинальний моментМx, що з'явився в результаті дворазового інтегрування рівняння четвертого порядку
У цьому рівнянні навантаженняqвідоме, тому його можна отримати, враховуючи, що
При інтегруванні рівняння необхідно задати чотири граничні умови (по дві на кожному кінці балки) у тому числі так звані силові граничні умови - умови, що накладаються на силові величини (згинальний момент і поперечну силу), які виражаються через похідні від прогину. Так як
а з урахуванням диференціального співвідношення Qy = dMx/dz, отримуємо
Повернімося до інтегрування рівняння другого порядку. Якщо є кілька ділянок, котрим права частина рівняння вихідногоf(z)=Mx/EJx,містить різні аналітичні вирази, то інтегрування ускладнюється. На рис. 4 наведена епюраМx,міститьпділянок. Для кожної ділянки незалежне інтегрування дає по дві константи, а при ділянкахппотрібно визначити 2nпостійних. Додаючи додвом граничним умовам на опорах 2(n?1) умови безперервності та гладкості пружної кривої на кордоні; суміжних ділянок, що полягають у рівності прогинівvта кутів повороту перерізівdv/dzна цих межах
отримаємо2пграничних умов, необхідні знаходження постійних інтегрування.
Рис.4.Розрахункова схема балки, що міститьnкутів
Рекомендую для практики вирішення диференціальних рівнянь другого порядку скористатися системою вхідних тестів Т-4, наведених у ДОДАТКУ.