Слабка похідна

«Слабка похідна» (в математиці) — узагальнення поняття похідної функції («сильна похідна») для функцій, що інтегруються по Лебегу (тобто з простору L 1 & gt; ), але які є диференційованими.

Зміст

  • Функціяu: [−1, 1] → [0, 1],u(t) =t, яка не має похідної у точціt= 0, проте має на проміжку [−1, 1] слабку похіднуv, так звану «функцію знака» (sgn), що визначається наступним співвідношенням:
0;\\0, t=0;\-1, t v : [ − 1 , 1 ] → [ − 1 , 1 ] : t ↦ v (t) = 1, t & 0; 0; 0, t = 0; − 1 , t 0. 1, t 0, 0, t = 0; -1, t 0, 0, t = 0, 1 ;t Це не єдина похіднаu: всяка функціяwзбігається зvмайже всюди також буде слабкою похідноюu. Зазвичай це не є проблемою, оскільки з точки зору просторів Lp, і просторів Соболєва вони еквівалентні.
  • Характеристична функція множеного творення чиселD(Функція Діріхле) ніде не диференційована, але слабку похідну має всюди. Оскільки міра Лебега раціональних чисел дорівнює нулю, то
∫ D ( t ) φ ( t ) d t = 0 Таким чином, v ( t ) ≡ 0 є слабка похідна функціїD. Це має бути інтуїтивно зрозуміло, аджеDу просторі Lp еквівалентна тотожному нулю.
  • Якщо дві функції є слабкими похідними однієї й тієї функції, вони збігаються на безлічі повної міри (майже всюди). Якщо, як заведено в просторах L p > , Вважали майже всюди рівні функції еквівалентними, то слабка похідна визначена єдиним чином.
  • Якщоuмає звичайну («сильну») похідну, тоді вона буде слабкою похідною. У цьому сенсі слабка похіднає узагальненням сильної. Більше того, класичні правила для похідних від суми та від виконання функцій зберігаються і для слабких похідних.

Поняття слабкої похідної заклало основу побудови т. зв. слабких рішень у просторі Соболєва, які виявилися корисними у теорії диференціальних рівнянь та у Функціональному аналізі.