Спрощення структурних схем та перевірка системи на стійкість
Сторінки роботи
зміст роботи
Практична робота №1.
Спрощення структурних схем та перевірка системи на стійкість.
Задано структурну схему САУ виду:
Перетворимо структурну схему САУ.
Передатна функція цієї системи мають вигляд:
Тепер замінимо зустрічно-паралельне з'єднання, однією ланкою і врахуємо це з'єднання з ланкою W1(p).
Ми отримали передатну функцію замкнутої системи.
Отримаємо передатну функцію розімкнутої системи:
1. Критерій стійкості Рауса.
Дня того, щоб САУ була стійка необхідно і достатньо, щоб усі коефіцієнти першого стовпця таблиці Рауса мали один і той же знак, а при а0 були б позитивними.
З передавальної функції характеристичне рівняння замкненого стану САУ має вигляд
Таблиця Рауса складається з коефіцієнтів характеристичного рівняння, які розташовуються в таблиці рядків та стовпців. У 1 рядку записуються коефіцієнти з парними індексами, а в другому – з непарними. Всі інші клітини таблиці заповнюються коефіцієнтами, які обчислюються так:
k – номер стовпця у таблиці, i – номер рядка.
Складемо таблицю Рауса для нашої системи.
Номер рядка – i.
Номер стовпця – k.
З таблиці видно, що це коефіцієнти позитивні, отже САУ – стійка.
2. Критерій стійкості Гурвіца.
Для того, щоб САУ була стійка, необхідно і достатньо, щоб усі визначники Гурвіца були позитивні.
складемо визначники Гурвіца та обчислимо їх
Так, всі визначники позитивні при позитивному а0, тоСАУ є стійкою.
3. Критерій стійкості Льєнера-Шіпара.
Для того, щоб САУ була стійка, необхідно і достатньо, щоб були позитивні всі коефіцієнти характеристичного рівняння для замкнутого стану і головні мінори непарного порядку визначника Гурвіца.
Характеристичне рівняння замкненого стану САУ є рівнянням 2 порядку.
Для рівняння 2 порядку умови стійкості мають вигляд
Усі умови виконуються, САУ стійка.
4. Критерій стійкості Ляпунова.
Для того щоб САУ була стійка необхідно і достатньо, щоб усі корені характеристичного рівняння мали негативні речові частини.
Визначимо коріння характеристичного рівняння.
Оскільки всі коріння характеристичного рівняння мають негативну речову частину, то САУ буде стійкою.
5. Критерій стійкості Михайлова.
Для того, щоб САУ була стійка необхідно і достатньо, щоб крива Михайлова, починаючись на позитивній півосі, проходила послідовно n квадрантів у напрямку проти годинникової стрілки, де n -порядок характеристичного рівняння.
У характеристичному рівнянні замінимо
Малюнок 3. Крива Михайлова
Так як порядок характеристичного рівняння дорівнює 2, а крива Михайлова, починаючись на речовій півосі, проходить послідовно 2 квадранти, то САУ буде стійкою.
6. Критерій стійкості Найквіста.
Замкнена САУ буде стійка, якщо крива АФЧХ розімкнутої системи, що має m полюсів у правій напівплощині, зі збільшенням від 0 до точку m/2 разів у позитивному напрямку.
де U(ω)- дійсна складова, V(ω)- уявна складова.
У виразі для передавальноїфункції розімкнутої системи замінимо і виділимо дійсну та уявну складові.
Для визначення знака полюсів m знайдемо коріння характеристичного рівняння розімкнутої системи.
Тобто все коріння розташоване в лівій напівплощині і тоді m=0.
Малюнок 6.-АФЧХ розімкнутої системи.
Оскільки АФЧХ розімкнутої системи охоплює точку 0 разів (m/2=0), то вихідна САУ буде стійкою.
Характеристичне рівняння САУ для замкнутого стану має вигляд:
Рівнянню відповідає наступна форма запису
Виразимо з нього коефіцієнт а2
В останньому виразі замінимо р на jw і висловимо дійсну та уявну частини.
Задаючись - побудуємо криву D-розбиття за одним параметром а4