СТАТИКА ЛЕКЦІЯ 1
Транскрипт
1 СТАТИКА ЛЕКЦІЯ 1 Введення у статику. Система схожих сил. 1. Основні поняття та аксіоми статики.. Зв'язки та реакції зв'язків. 3. Система схожих сил. 4. Розкладання вектора сили за координатними осями. 5. рівновага системи схожих сил. 1 питання. Теоретична механіка вивчає загальні закони механічного руху та рівноваги матеріальних тіл і виникаючі при цьому взаємодії. Теоретична механіка ділиться на три частини: статика, кінематика та динаміка. Статика розглядає умови рівноваги тіл під дією доданих сил та методи перетворення одних систем сил на еквівалентні їм системи. Основні поняття статики За матеріальну точку приймають таке тіло, розміри якого малі порівняно із суміжними тілами. Наприклад, штучний супутник Землі сприймають матеріальну точку, оскільки його розміри малі проти нашої планетою. Трактор, що рухається полем також можна прийняти за матеріальну точку, коли довжина гону значно більша за його розміри. Абсолютно твердим тілом у теоретичній механіці називають таке тіло, відстань між двома будь-якими точками якого залишається незмінною за будь-яких силових впливів, тобто тіло не деформується. Вважаючи тіла абсолютно твердими, ми значно спрощуємо дослідження сил і умов, що діють на тіло, за яких воно знаходиться в рівновазі. Подальшим, найважливішим поняттям є сила. Силою називається фізична величина, що з'являється при взаємодії тіл або фізичних полів і визначається появою деформацій чи прискорень. Сила характеризується: точкою докладання, напрямом та величиною. Пряма за якою спрямована сила, називається лінією дії цієї сили. Векторна сила величина. У системі СІ силавимірюється Н (Ньютон), в деяких випадках силу вимірюють в кг. 1Н = 0,10 Н, 1кг = 9,81Н.
2 Сили діляться на активні та пасивні. Активні сили створюють чи здатні створити рух, а пасивні перешкоджають чи знищують рух. Сукупність сил, які діють якесь тіло, називається системою сил. Якщо тіло, що знаходиться під дією системи сил залишається в спокої, або рухається поступально, рівномірно і прямолінійно, то така система називається системою, що врівноважується. Якщо одну систему сил, прикладену до абсолютно твердого тіла, можна замінити іншою системою, не порушуючи при цьому його спокою, такі дві системи сил називаються еквівалентними. Декілька сил (F 1, F ), прикладених до однієї точки, можуть бути замінені однією силою (R), званої рівнодіючої силою, і навпаки, одна сила може бути розкладена на скільки сил, прикладених до тієї ж точки. Аксіоми статики Загальні аксіоми статики визначають, як рухається та взаємодіє механічна матерія. Аксіоми приймаються без доказів. Аксіома 1. Для рівноваги двох сил, прикладених до абсолютно твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб ці сили дорівнювали по модулю і направлені по одній прямій у протилежні сторони (F 1 =F ). Аксіома. Не змінюючи дії даної системи сил на абсолютно тверде тіло, можна додати до цієї системи або відібрати від неї дві сили, що врівноважуються (F1=F, F3=F4). Цією аксіомою часто користуються під час виведення багатьох теорем статики. Наслідок із аксіоми. Не змінюючи дії цієї сили на тіло, точку застосування цієї сили можна переносити по її лінії дії. Сила вектор ковзання. Аксіома 3. рівнодіюча двох сил, прикладених до абсолютно твердого тіла в одній точці, дорівнює їх геометричній сумі, тобто. діагоналі паралелограма, побудованого на цих силах якна сторонах. Аналітично рівнодіюча двох сил F 1 і F визначається виразом R = F + F + F F Cos(F ^ ) F
3 Аксіома 4. Сили, з якими діють один на одного два тіла, завжди рівні за модулем і направлені по одній прямій у протилежні сторони. Аксіома 5. Якщо тіло, що деформується, перебуває під дією даних сил у стані рівноваги, стане абсолютно твердим (затвердіє), то його рівновага не порушиться. Це принцип затвердіння, який встановлює зв'язок між статикою абсолютно твердого тіла і статикою деформованих тіл. питання. Якщо на матеріальну точку або абсолютно тверде тіло не діють інші тіла, то таке тіло називається вільним. Всі тіла, що обмежують переміщення тіла, до якого прикладено силове навантаження, називають зв'язками. Сила, з якою зв'язок впливає задане тіло, називається реакцією зв'язку. Реакція зв'язку завжди пасивна сила, що залежить за чисельним значенням від активних сил і від конструкції з'єднання зв'язку і тіла, і спрямована протилежно тому напрямку, яким зв'язок перешкоджає руху даного тіла. Зв'язків також багато, як матеріальних тіл. Зв'язки поділяються на класи з їхньої конструкції та способу з'єднання з іншими тілами. Питання 3. Якщо лінії дії сил перетинаються в одній точці, то така система сил називається системою сил, що сходить. Точка, в якій перетинаються лінії дії сил, називається центром системи сил, що сходить.
4 Система сил, що сходить, може бути плоскою (а), або просторовою (б), залежно від того, чи утворюють сили плоский пучок або просторовий. Східна система сил може бути приведена до рівнодіючої або знаходиться в рівновазі. Як було згадано вище, рівнодіюча знаходиться по аксіомі 3, у тому випадку, коли сил багато,рівнодіючу графічно можна знайти побудовою векторного багатокутника. Теорема. Якщо тіло знаходиться в рівновазі під дією n непаралельних сил, що лежать в одній площині, лінії дії цих сил перетинаються в одній точці. Доведемо цю теорему з прикладу 3-х сил. Якщо сили F 1 і F перетинаються в одній точці А, їх можна замінити рівнодією R. Тоді тіло знаходиться під дією сил F 3 і R. А в нашому випадку рівноваги по аксіомі 1 вони спрямовані в протилежні сторони по одній прямій і дорівнюють модулю.
5 Приклад. Як видно з малюнка, напрямок реакції в шарніра А вказати заздалегідь неможливий (див. питання лекції 1). Проведемо лінії дії відомих активної сили та реакції в опорі, вони перетнулися в точці О, значить і лінія дії реакції А пройде через цю точку на підставі вищенаведеної теореми. Залишилося тільки вказати напрямок реакції в шарнірі А. Питання 4. Проекція сили на вісь Проекція сили на вісь визначає ту частину сили, яка діє у цій осі. Геометричний спосіб проекції сили на вісь дозволяє визначити: Проектування сили в нуль (Сила перпендикулярна до цієї осі). Проектування сили в натуральну величину (сила паралельна даної осі). Знак проекції сили (Якщо складова сили діє вздовж осі та збігається з напрямком осі, то проекція береться зі знаком «+», інакше «-«). Вектор сили та дві його проекції на взаємно перпендикулярні осі координат утворюють прямокутний трикутник, у якому гіпотенуза за модулем сила, а катети проекції сили. Тому аналітично проекцію сили на вісь можна подати у вигляді добутку сили на косинус кута між силою та віссю.
6 Проекція сили на площину ХОУ є вектор, спрямований з початку проекції сили на площину в точку, що збігається з проекцієюкінця сили на цю площину. Для того, щоб задати силу аналітично, необхідно і достатньо задати її проекції на осі координат. Сила F буде задана, якщо відомо її чисельне значення та напрямок. Тоді при кутах α,β і γ між силою та осями координат отримаємо: F X = F Cos (α), F Y = F Cos (β), F Z = F Cos (γ). Звідси F = F + F + F, таким чином знаючи проекції сили, X Y Z легко знайти її модуль і кути з осями координат. Розкладання вектора по осях координат Вектора F X, F Y, F Z є складовими вектора F. Так як проекції вектора F збігаються з напрямками осей координат, а осі у свою чергу спрямовані по одиничних векторах i, j, k, то цілком справедливо вираз F = FX i + FY j + FZ k Іншими словами, в даному виразі розкладання вектора по координатних осях скалярні коефіцієнти при ортах i, j, k є проекції цього вектора на ці осі. Теорема про проекцію рівнодіє яку - або вісь. Проекція рівнодіє на якусь вісь дорівнює алгебраїчної сумі проекцій доданків на ту ж вісь. Доведення. Побудуємо силовий багатокутник та спроектуємо всі вектори на вісь Х.
7 Проекції рівнодіючої визначаються як алгебраїчні суми проекцій сил, що становлять рівнодіючу, а напрямок визначається через напрямні косинуси R X = ΣF X ; R Y = ΣF Y; R Z = ΣF Z. R = FX ) + ( FY ) + ( ( FZ ) Оскільки R X = R Cos (α), то тоді Cos (α) = R X / R, Cos (β) = R Y / R, Cos ( γ)=R Z /R Питання 5. Для рівноваги прикладеної до твердого тіла системи східних сил необхідно і достатньо щоб рівнодіюча R = 0. Для рівноваги системи східних сил потрібно щоб силовий багатокутник, побудований з цих сил, був замкнутий. умова рівноваги.Для системи схожих сил необхідно щоб сумипроекція означає нуль, що дорівнює кожній осі координат. Плоска система збіжних сил R X = ΣF X =0; R Y = ΣF Y =0; R = ( F X ) + ( FY ) =0 Просторова система збіжних сил R X = ΣF X =0; R Y = ΣF Y =0; R Z = ΣF Z =0 FX ) + ( FY ) + ( R = F ) =0 ( Z