Статистичне моделювання
1. Вибірковий метод
2. Статистична оцінка законів розподілу
3. Основні властивості точкових оцінок
4. Оцінка математичного очікування та дисперсії за вибіркою
5. Довірчі інтервали
6. Методи отримання оцінок
7. Метод максимальної правдоподібності
8. Розподіл хі-квадрат
Коли доводиться вивчати не поодинокі, а масові випадкові явища, необхідно вдаватися до статистичних методів дослідження. Ці методи призначені виявлення закономірностей там, де здавалося б немає нічого, крім сукупності окремих фактів, спостережень, вимірів. Теорія ймовірностей та математична статистика є науками про методи кількісного аналізу масових випадкових явищ.
У теорії ймовірностей за заданими ймовірностями деяких подій та функцій розподілу випадкових величин визначаються ймовірності та функції розподілу інших подій та випадкових величин.
Звісно запитати: звідки відомі вихідні ймовірності та розподілу, як їх знайти? Одних апріорних міркувань для цього, як правило, недостатньо, потрібні досвід, спеціальні випробування. Математична статистика і розробляє методи, що дозволяють за результатами випробувань робити певні висновки про ймовірності та розподілені випадкові величини та події.
Метою кожної науки є виявлення деяких загальних закономірностей, що дозволяють передбачити перебіг явищ природи та вибирати раціональні шляхи поведінки у вихідних ситуаціях. У багатьох випадках для виявлення загальних закономірностей необхідно провести велику кількість спостережень та вимірів; як наслідок потрібні методи обробки сукупності таких спостережень. Ці методи також розробляєматематична статистика.
Перші роботи з математичної статистики з'явилися торік у 18 столітті і були пов'язані зі статистикою населення, вивченням тривалості життя та питаннями страхуванні. Пізніше наприкінці 18 початку 19 століття у зв'язку з астрономічними завданнями почалися серйозні дослідження з теорії помилок вимірювань. Біологічні дослідження послужили поштовхом для постановки численних питань, які призвели на початку 20-го століття до виділення математичної статистки в окрему науку. Зараз у зв'язку із загальним бурхливим розвитком науки та проникненням кількісних методів буквально у всі галузі знань інтерес до математичної статистики зріс, виникли нові завдання та методи. Математична статистика перебуває у стадії її подальшого розвитку та її прогрес триває.
Відомо, що розподіл визначається тим чи іншим числом параметрів: закон Пуассона залежить тільки від одного параметра - математичного очікування; нормальний закон – від двох – математичного очікування та дисперсії досліджуваної випадкової величини.
Якщо хочемо використовувати ці закони, наприклад розподілу Пуассона, в інженерних завданнях, нам потрібно оцінити параметр, тобто знайти його чисельне значення, у разі – чисельне значення математичного очікування.
Традиційний природний спосіб знаходження параметра полягає в обстеженні деякої кількості значень відповідної випадкової величини. Ця множина зазвичай називається вибіркою; елементи множини – вибірковими значеннями випадкової величини; кількість елементів – обсягом вибірки. З вивчення вибірки ми робимо деякі висновки про всієї сукупності можливих значень випадкової величини. Ця сукупність називається генеральною. В результаті обстеження вибірки таВикористання відповідних статистичних правил можна отримати чисельну оцінку значення параметра. Оцінка параметра – це певна функція вибіркових значень випадкової величини. У нашому випадку як оцінка параметра – математичного очікування можна використовувати середнє арифметичне вибіркових значень. Зазначимо, що оцінка є випадковою величиною. Отже, параметр – стала величина замінюється значенням випадкової величини, отриманої за результатами вибірки виходячи з деякого правила.
Якщо ми розглянемо ще одну вибірку такого ж обсягу, то чисельне значення оцінки буде дещо іншим, оскільки склад нашої вибірки є випадковим. Це ще раз ілюструє те що, що з допомогою оцінки величина параметра визначається з деякою помилкою. Вузловим для математичної статистики є питання, наскільки далеко можуть відхилиться величини оцінок, обчислення за вибіркою, від відповідних справжніх значень параметрів.
У розглянутому випадку необхідно за вибіркою оцінити математичне очікування випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона. Як це зробити? Можна використовувати: 1) середнє арифметичне; 2) найбільш часто зустрічається вибіркове значення випадкової величини; 3) середній член варіаційного ряду.
Яка з цих оцінок краща? І що означає найкраща оцінка? Яким вимогам вона має задовольняти? Відповіді ці питання дає математична статистика.
Друге завдання – перевірка статистичних гіпотез. Це можуть бути гіпотези про закон розподілу, рівність двох математичних очікувань чи дисперсій різних розподілів. Перевірка статистичних гіпотез проводиться на основі аналізу вибірки обмеженого обсягу.
Можна припустити, що деяка випадкова величина розподілена за закономПуассон. Ця гіпотеза потребує перевірки. Частоти (оцінки ймовірностей), отримані в результаті обробки вибірки, можуть відрізнятися від ймовірностей, визначених на підставі розподілу Пуассона. Причина розбіжності може у тому, що неправильна гіпотеза закон розподілу. Однак не виняток і інша причина: обсяг вибірки дуже малий, а при такому об'ємі вибірки отримані відмінності між частотами та ймовірностями можуть спостерігати і за істинності припущення про закон розподілу. Прийняти найкраще рішення у разі допомагають методи математичної статистики.
Існують й інші не менш важливі завдання математичної статистики, такі як планування експерименту, встановлення статистичних залежностей між випадковими подіями.
1. Вибірковий метод
Генеральна та вибіркова сукупність
Одним із фундаментальних понять математичної статистики є невизначене поняття генеральної сукупності. Під генеральною сукупністю розуміють безліч якісно однорідних елементів (об'єктів, виробів) різної природи. Розглянемо можливі типи цих сукупностей.
1. Кінцева та реально існуюча, наприклад, генеральна сукупність усіх людей України у фіксований момент часу.
2. Нескінченна і реально існуюча, наприклад, безліч дійсних чисел, що лежать між нулем і одиницею.
3. Уявна (гіпотетична) кінцева або нескінченна: Наприклад, повторні безперервні кидання гральної кістки дають послідовність елементів з нескінченної неіснуючої генеральної сукупності.
Другим основним поняттям математичної статистики є поняття вибіркової сукупності (вибірки).
Нехай потрібно вивчити елементидеякої генеральної сукупності щодо будь-якої кількісної ознаки, що характеризує ці елементи. Це можна зробити, проводячи суцільне обстеження всіх елементів сукупності щодо цікавої для нас ознаки. Проте практично суцільне обстеження застосовується порівняно рідко. Для генеральної сукупності, що містить велику кількість елементів, суцільне обстеження буде економічно невигідним або взагалі фізично неможливо. Якщо обстеження об'єкта пов'язані з його знищенням (наприклад під час перевірки якості мінних підривників) чи вимагатиме великих матеріальних витрат (наприклад запуск сучасної ракети), проводити суцільне обстеження практично немає сенсу. У такій ситуації випадково відбирають із генеральної сукупності обмежену кількість об'єктів та вивчають їх.
Таким чином, вибірковою сукупністю або просто вибіркою обсягу n називатимемо сукупність n об'єктів, відібраних з цікавої для нас генеральної сукупності.
2. Статистична оцінка законів розподілу
Якщо вибірка обсягуnз генеральної сукупності представницька, то елементи з однаковими значеннями варіанти приблизно однаково часто зустрічатимуться як у вибірці, так і в генеральній сукупності. У цьому випадку природно прийняти розподіл X у вибірці за наближений розподіл її в генеральній сукупності, тобто вважати дискретний розподіл вибірки Fn (x) наближенням до теоретичної функції розподілу F (x). Приклад наближення показаний малюнку
Підставою такого наближення є так звана основна теорема математичної статистики, доведена В.І. Глівенко
З цієї теореми випливає, що при n→∞ з ймовірністю, що дорівнює одиниці, верхня межа відхиленняF(x)−F(x) по всій осі x прагне нулю. Тим самим гарантується рівномірне наближення Fn(x) до F(x) по всій осі x. Таким чином, досліджуючи функцію Fn(x), ми можемо по ній наближено оцінити теоретичну функцію розподілу випадкової величини.