Стягується послідовність - ПріМат

Стягується послідовність

Назвемо послідовність відрізків ,де стягується, якщо виконані такі умови:

Кожен наступний відрізок належить попередньому, тобто: Це означає, що:

Довжина відрізка прагне до нуля при цьому:

Література:

Подiлитись посиланням:

Теорема Коші-Кантора про вкладені відрізки

Формулювання

Нехай дана система вкладених сегментів, тоді, тобто. Причому якщо $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_\in \mathbb \ \forall n > n_ :(b_-a_) m \Rightarrow a_\leq b_\leq . \leq b_\leq b_ " />

Єдиність:

Припустимо неприємне, нехай існують дві різні точки, що належать всім відрізкам послідовності тобто:

. Так, як , або ' " title="c>' "/>.

Не обмежуючи спільності, припустимо, що .

Тоді ми маємо: . Тобто . Так як .

Протиріччя! Отже, наше припущення, що існують дві різні точки, що належать всім відрізкам послідовності невірно, означає

Відрізки у формулюванні теореми не можна замінити на відкриті інтервали.

Насправді, легко бачити, що послідовність вкладених один в одного інтервалів не має спільних точок, оскільки

Довести, що й система вкладених сегментів причому $latex \forall \ \varepsilon > 0 \ \exists \ n_\in \mathbb \ \forall n > n_ :(b_-a_)

Виходячи з доказу теореми Коші-кантора, а саме з того, що, отже, за визначенням точних верхньої та нижньої грані. Віднімемо з нерівності, і за теоремою про три послідовностіотримаємо: , отже, по теоремі про послідовності, що збігається, маємо . Доказ послідовності проводиться аналогічно.

Доведено, що обидві послідовності сходяться і виконуються такі рівність: .

Довести, що теорема Коші-Кантора про вкладені відрізки не виконується на безлічі .