Диференційне рівняння Бесселя

Лінійне звичайне диференціальне рівняння другого порядкувиду \[y'' + xy' = \left( - > \right)y = 0\] називаєтьсярівнянням Бесселя. Число (v) називаєтьсяпорядком рівняння Бесселя.

Дане диференціальне рівняння було названо на честь німецького математика та астрономаФрідріха Вільгельма Бесселя, який докладно дослідив його і показав (у (1824)), що рішення рівняння виражаються через спеціальний клас функцій, що отримали назвуциліндричних функційабофункцій Бесселя.

Конкретне подання загального рішення залежить від числа \(v.\) Далі ми окремо розглянемо два випадки:

Порядок (v) є нецілим числом;

Порядок (v) є цілим числом.

Вважаючи, що число \(v\) є нецілим і позитивним, загальне рішення рівняння Бесселя можна записати у вигляді \[y\left( x \right) = \left( x \right) + >\left( x \right) ,\] де \(,\) \(\) − довільні постійні, а \(\left( x \right),\) \(>\left( x \right)\) −функції Бесселя першого роду.

Функцію Бесселя першого роду можна у вигляді ряду, члени якого виражаються через так званугамма-функцію: \[\left( x \right) = \sum\limits_

^\infty \right)>^p>>> \right)\Gamma \left(

\right)>>> \right)>^>> .\] Гамма-функція є розширеннямфакторіальної функціїз безлічі цілих на безліч дійсних чисел. Зокрема, вона має такі властивості: \[ \right) = p!,>\;\; \right) = \left( \right)\left( \right) \cdots \left( \right)\Gamma \left( \right).> Аналогічним чином записуються функції Бесселя першого роду негативного порядку (з індексом (-v)). Тут ми припускаємо, що (v & gt; 0. \)\[>\left( x \right) = \sum\limits_

^\infty \right)>^p>>> \right)\Gamma \left(

\right)>>> \right)>^>> .\] Функції Бесселя обчислюються у більшості математичних пакетів. Наприклад вид функцій Бесселя першого роду порядку від \(v = 0\) до \(v = 4\) показаний малюнку \(1.\) Ці функції можна обчислити й у MS Excel.

рівняння

рівняння

Якщо порядок \(v\) диференціального рівняння Бесселя є цілим, то функції Бесселя першого роду \(\left( x \right)\) і \(>\left( x \right)\) стають залежними одна від одної. У цьому випадку загальне рішення рівняння описуватиметься іншою формулою: \[y\left( x \right) = \left( x \right) + \left( x \right),\] де \(\left( x \right) \) −функція Бесселя другого роду. Іноді це сімейство функцій називають такожфункціями Нейманаабофункціями Вебера.

Функцію Бесселя другого роду\(\left( x \right)\) можна виразити через функції Бесселя першого роду \(\left( x \right)\) та \(>\left( x \right) ):\) \[\left( x \right) = \frac\left( x \right)\cos \pi v - >\left( x \right)>>>.\] Графіки функцій \ (\left( x \right)\) для перших порядків \(v\) представлені вище малюнку \(2.\)

Примітка: Насправді загальне рішення диференціального рівняння Бесселя можна виразити через функції Бесселя першого та другого роду також і для випадку нецілого порядку \(v.\)

1.Ще одним добре відомим рівнянням даного класу ємодифіковане рівняння Бесселя, яке виходить з регулярного рівняння Бесселя заміною \(x\) на \(-ix.\) Це рівняння має вигляд : \[y'' + xy' - \left( + > \right)y = 0.\] Розв'язання даного рівняння виражається через так звані модифікованіфункції Бесселя першого та другого роду: \[ \left( < - ix>\right) + \left( < - ix>\right) > = \ left (x \ right) + \ left (x \ right), & gt; \] де \(\left( x \right)\) і \(\left( x \right)\) позначають модифіковані функції Бесселя, відповідно, першого та другого роду.

2.Диференційне рівняння Ейрі, відоме в астрономії та фізиці, записується у вигляді: \[y'' - xy = 0\] Його також можна звести до рівняння Бесселя. Рішення рівняння Ейрі виражається через функції Бесселя дробового порядку \( \pm \large\frac\normalsize:\) \[ = \sqrt x \normalsize>>\left( i\normalsize>>> \right) + \sqrt x \normalsize>>\left( i\normalsize>>> \right).> \]3.Диференційне рівняння виду \[y'' + xy' + \left( - > \right)y = 0\] відрізняється від рівняння Бесселя лише множником \(\) перед \(\) і має загальне рішення в наступному вигляді: \[y\left( x \right) = \left( \right) + \left( \right).\]4.Подібне диференціальне рівняння \[y'' + axy' + \left( - > \right)y = 0\] також зводиться до рівняння Бесселя \[z'' + xz' + \left( - > \right)z = 0\] за допомогою підстановки \[y\left( x \right) = >\normalsize>>z\left( x \right).\] Тут параметр \(\) позначає \[ = + \frac\ right)^2>.\] В результаті, загальне рішення даного диференціального рівняння визначається формулою \[y\left( x \right) = >\normalsize>>\left[ \left( x \right) + \left( x \right)> \right].\] Спеціальні функції Бесселя широко використовуються у вирішенні задач математичної фізики, наприклад, при дослідженні

у випадках, коли об'єкти мають циліндричну чи сферичну симетрію.

Дане рівняння має порядок \(\sqrt 2 \) і відрізняється від стандартного рівняння Бесселя лише множником\(3\) перед \(.\) Тому загальне рішення рівняння описується формулою \[y\left( x \right) = >\left( \right) + >\left( \right),\] де \ (,\) \(\) − постійні, а \(>\left( \right)\) та \(>\left( \right)\) − функції Бесселя, відповідно, \(1\) і \ (2) роду.

Це рівняння відрізняється від модифікованого рівняння Бесселя множником \(4\) перед \(.\) Порядок рівняння дорівнює \(v = \large\frac>\normalsize.\) Загальне рішення виражається через модифіковані функції Бесселя таким чином: \[y\ left( x \right) = >\normalsize>>\left( \right) + >\normalsize>>\left( \right),\] де \(\) і \(\) − довільні постійні .