Структура двофазної течії при великомасштабному описі
На витісненні нафти водою чи газом засновано технологію її вилучення з надр розробки нафтових родовищ. Це або вторгнення в пласт крайової води або газу газової шапки, що просувають нафту до вибоїв добувних свердловин (природний напірний режим), або закачування рідини, що витісняє, або газу через систему нагнітальних свердловин для підтримки тиску в пласті і просування нафти до видобувних свердловин. Розглянемо задачу про витіснення нафти водою або газом (ширше — задачу про витіснення однієї рідини, що не змішується, інший) на основі рівнянь двофазної фільтрації, отриманих у попередньому параграфі. Для вирішення системи рівнянь (IV.11) - (IV. 15) широко застосовується апарат чисельних методів. Грунтуючись на загальних принципах, викладених у гол. I, обмежимося лише дослідженням загальних властивостей поля насиченості, для чого застосуємо асимптотичний підхід, заснований на дещиці деяких безрозмірних параметрів, що входять до умов задачі про витіснення рідин, що не змішуються [5].
Рівняння Баклея - Леверетта. Загальна теорія. Запишемо основну систему рівнянь для тиску та насиченості у вигляді (IV.19) та (IV.20), використовуючи безрозмірні змінні
X = x/L, Y = y/L, Z = z/L, x = kkpt/mpiL = uot/mL, Pi = pjAp, П = P/Ap, є = a2/u0L = = a cos 6 Y
Тут L - характерний розмір (наприклад, відстань між свердловинами або галереями); «о-характерна швидкість, пов'язана з характерним перепадом тиску Ар. Отримаємо
Div [s*, має точку перегину, а функція F'(s)-максимум (див. рис. 37). Тому відповідно до формул (IV.32) великі значення насиченості витісняючою фазою s (на рис. 38 зліва) можуть «обганяти» менші (на рис. 38,починаючи з Т = 0,5), внаслідок чого з'являються поверхні розриву (стрибки), при переході через які насиченість змінюється кінцеву величину.
Поява стрибків насиченості пов'язана з нехтуванням членом із старшою похідною у рівнянні (IV.28). Стрибками насиченості апроксимуються області, всередині яких великий grad s, і тому не можна нехтувати останнім членом рівняння (IV.28). При точному рішенні (IV.28) замість стрибків виникають вузькі області з насиченістю, що швидко змінюється. Асимптотичному дослідженню розподілу насиченості у цих зонах присвячено наступний параграф.
Перш ніж досліджувати формування та еволюцію стрибків насиченості, виведемо співвідношення, що виражають умови збереження маси та тиску на них.
Нехай стрибок насиченості проходить через циліндричний елемент пористого середовища об'ємом 2, вирізаний по нормалі до поверхні стрибка і обмежений ділянками поверхонь S, паралельних поверхні стрибка, що знаходяться на відстані Дп від неї. Умова збереження маси першої фази в елементі має вигляд
D msdwj /dt + I u\ndo = 0. ^jy 34^
D (J msdu)/dt=mVnc(s-s+) £ + 0 (S/i?2), (IV.35)
, s+ - відповідно насиченості за і до стрибка; R - радіус кривизни поверхні стрибка; Vnc - Швидкість переміщення стрибка по нормалі до нього. Різниця потоків рідини, що витісняє через перерізи, паралельні поверхні стрибка, дорівнює (мПі — де,
U - проекція швидкості фільтрації першої фази на нормаль до поверхні стрибка. Потік, пов'язаний із дотичною складовою, зникаюче малий при прагненні Дп до нуля. Тоді умова збереження маси першої рідини при стягуванні елемента 2 до ділянки поверхні набуде вигляду
Умова збереження маси другої рідини з урахуванням (IV. 36) зводиться до умовибезперервності нормальної складової сумарної швидкості фільтрації при переході через поверхню розриву:
Чп + "2 п - U" = lit = Un.
З (IV.30) та (IV. 17) неважко отримати
Щ = F(S) і, З = (1 - F(S)) і. (IV.37)
Ці формули показують, що за фізичним змістом функція Бак - Лея-Леверетта F(s) виражає частку першої фази в потоці (при зневагі капілярними силами). Підставляючи їх у (IV.36), маємо
) - F (s+)] Un/m (s - - s+). (IV.38)
Крім умов (IV.36) на стрибку має виконуватися умова безперервності тиску, що зводиться до наступних співвідношень:
(s>sc), x=UF'(sc)/m, (s0 F'(sc), (IV.46)
У якому насиченість на стрибку постійна і задовольняє умову (IV.45) при s0 = const (рис. 40).
Вище розглянуто задачі про витіснення для плоскопаралельного одновимірного перебігу. Однак неважко показати, що рішення (IV.41) і (IV.46) описують також плоско-радіальний і сферично-радіальний перебіг лише із заміною координати х на г2/2 та г3/3 відповідно. Для стаціонарного циліндричного або сферичного стрибка залишається справедливою і умова Баклея - Леверетта (IV.45)
Для загального просторового руху вираз (IV.38) можна використовувати для опису еволюції поверхні стрибка з (х, у, z, t), оскільки
У по = Щс №) \ Щс! дп). (IV.47)
МАЛ. 39. До графічної побудови рішення Баклея - Леверетта на площині s, F; функція-/^) та сама, що у рис. 37.
Нехай у певний початковий момент вздовж поверхні стрибка насиченість постійна і виконується умова (IV.45). Нехай, крім того, скрізь за стрибком (тобто контури нагнітання) s > sc, F'(s) 1, то F"(s)>0. У першому з цих випадків за формулою (IV.37) отримуємо безперервнумонотонно спадаючу залежність s(x) при будь-якому t. Вигляд рішення Баклея-Леверетта за умови, що функція F(s) виражається формулою (IV.48) і але = 0,5, показаний на рис.40 разом з рішенням Баклея-Леверетта для звичайних функцій відносної проникності. Якщо ро^О, похідна F"(s) ніде не негативна. Внаслідок цього безперервне рішення, відповідне (IV.37), не існує. Рішення зі стрибком відповідає граничному випадку "поршневого" витіснення:
Фізично це означає, що якщо в'язкість фази, що витісняє більше, ніж витісняється, процес витіснення має поршневий характер. Якщо ж більше в'язкість фази, що витісняється, фронт витіснення «розмивається». Якісна відмінність виду рішення при значеннях параметра але, більших і менших одиниці, пов'язане з питанням про стійкість фронту витіснення, що розглядається в § 5 цієї глави. Рішення рівняння (IV.40) з функцією F(s) виду (IV.48) розглядалися А. М. Пірвердяном у зв'язку із завданням про переміщення водонафтового контакту.
Однією з практично важливих характеристик витіснення нафти водою є коефіцієнт нафтовіддачі, тобто частка витісненої нафти від початкового вмісту в пористому середовищі. З автомодельних рішень виду (IV.46) можна отримати прості співвідношення, що дозволяють оцінити залежність коефіцієнта нафтовіддачі від обсягу рідини, що прокачає, і відношення в'язкостей фаз. Нехай витіснення походить із елемента трубки струму між перерізами л: = 0 і х = L при s(x, 0) = so = const. Оскільки умови у вихідному перерізі л = L не впливають на вирішення задачі Баклея - Леверетта, формули (IV.46) справедливі для зразка кінцевої довжини L, причому насиченість у вихідному перерізі знаходиться за формулами (IV.42) або (IV.46) як s(L, t).
Нехай насиченість у вихідному перерізі х = L, sL дорівнюєабо більше насиченості на стрибку sc, що визначається формулою (IV.45), тобто розглядаються моменти часу після прориву рідини, що витісняє, через вихідний переріз. Для насиченості при х = L, s = Sl виконується рівність
F'(sl) = LIU т. (IV.50)
Середня насиченість у ділянці з урахуванням (IV.46) дорівнює
x £ sdx = (F'(sl))-1 f sF''(s) ds = sL + (1 - F(s)) /F'(sL) -
Зазвичай вид функцій /і(s) і /2(s) такий, що f2(s*) = 0 і f\(s#) = 0, звідки F'(s*) = 0. Тоді, по Уелджу, зв'язок між s і sL набуде вигляду l=sL+(l-F (sL)) /F'(Sl). _ (IV.52)
Звідси випливає, що з заданому sL значення s можна знайти з допомогою простий побудови на площині F, s, вказаного на рис. 39. Зокрема, середня насиченість при прориві фази, що витісняє, знаходиться на перетині дотичної до F(s) з точки so, F(sq) (що дає значення sc) з прямою F = 1. Знаючи s, неважко знайти коефіцієнт нафтовіддачі т] і назад :
Т, = (7 - s0) / (l - so); s = (1 - so) та + s0. (IV.53)
Крім визначення коефіцієнта нафтовіддачі, формули (IV.51) та (IV.52) можна використовувати для знаходження виду функції F(s) за експериментальними даними, отриманими при витісненні нафти водою. Вимірюючи витрати нафти і води q2 і q\ у кожен момент часу, можна знайти за ними поточне значення функції F, що відповідає насиченості у вихідному перерізі Sl : F(sL) = q/(qi + q2). Далі, по поточній нафтовіддачі можна знайти значення s будь-якої миті часу. Після цього значення sL, відповідне даному F, можна визначити за формулою (IV.51) з урахуванням (IV.50):
На основі автомодельного рішення Баклея-Леверетта, Д. А. Ефрос [48] та ряд інших дослідників запропонували формули, що дозволяють визначити за даними витіснення нафти водою в лінійному зразку не тількифункцію/7^), а й відносні проникності. Для лінійного витіснення після прориву фази, що витісняє, перепад тиску Др можна виразити формулою, наступною з (IV.41):
Др = JX, uoUmk-«J F»(s)lfi(s) + »o/2(s)]-'ds. (IV.55)
Замінивши у співвідношенні (IV.55) змінну s F' = dF/ds, отримаємо
J (F/f\) dF' = Дp (t) kF'L/uo (t) p\L, F'l = F'(sl). (IV.56) про
Вважаючи kkp/u0 (t) pjL = П
І диференціюючи співвідношення (IV.56) no U = itiL/Fl, знайдемо для /і (sl):
H(sl) = F/IU. - U (dH/dU)]. (IV.57)
Усі величини, що входять до правої частини (IV.57), можна обчислити за результатами вимірювань інтегральних характеристик процесу витіснення та перепаду тиску.
Схемою Баклея — Леверетта можна описати також одновимірну двофазну течію з урахуванням сили тяжіння. У великомасштабному наближенні, тобто в області, де можна знехтувати впливом капілярних сил, вираз закону фільтрації двофазної рідини з урахуванням сили тяжіння має вигляд:
«і = - (kfi(s)/[M)d(/gt; + pigsina)/d. (IV.58)
При цьому вісь x спрямована нагору, 0
Рішення рівняння (IV.60) визначається інтегруванням системи рівнянь характеристик
Dx/dt = і (t) F'(s) - Wdf2F/ds; s=const. (IV.61)
Якщо показники, зумовлені рівняннями (IV.61), перетинаються площині х, t, щоб знайти рішення, має фізичний сенс, необхідно вводити стрибки насиченості. Умови на стрибках знову виражаються формулами (IV.36) та (IV.38), де замість F(s) слід підставити функцію ф(s, t) = uF - Wf2 F.
Особливий інтерес представляє течія за умови і (t) = О, що відповідає поділу фаз під дією сили тяжіння (гравітаційна сегрегація). Якщо пласт необмежений за товщиною,а рідини спочатку розділені різкою горизонтальною кордоном, причому більш важка рідина знаходиться зверху, тобто s = I при x gt; 0, s = Про при x 0 s (0, t) = si = const, s *
РУХ РІДИНИ І ГАЗІВ У ПРИРОДНИХ ПЛАСТАХ
Витіснення нафти розчинами активних домішок
Концепція активної домішки. Основні рівняння. Розглянемо двофазний фільтраційний перебіг нафти та води, припускаючи, що вода (а можливо, і нафта) містить деяку добавку, здатну впливати на гідродинаміку потоку. Таку добавку незалежно …
Нестаціонарні завдання фільтрації неньютонівських рідин
Нестаціонарні процеси в пластовій системі при фільтрації неньютонівських рідин мають певні особливості, що дозволяють у деяких випадках виявити порушення закону Дарсі, оцінити їх кількісно і дати прогноз їхнього можливого впливу на …
Ефекти дифузії та нерівноважності у завданнях витіснення нафти розчином активної домішки.
Так само, як і в «звичайній» теорії двофазної фільтрації (див. гл. IV), великомасштабне наближення виявляється недостатнім там, де виникають області великих локальних градієнтів основних змінних, тобто поблизу стрибків насиченості.