Тензорний аналіз - Фізична енциклопедія
ТЕНЗОРНИЙ АНАЛІЗ -матем. теорія, що вивчає об'єкти спец. роду-тензорні поля (див. Тензор).
Необхідність застосування Т. а. виникає, коли вивчення того чи іншого фіз. явища (щодо якого є повна система несуперечливих даних до створення абстрактних моделей в матем. термінах) доводиться залучати метод координат. Координатний метод дозволяє параметризувати модель за допомогою кінцевого або нескінченного числа параметрів (координат), до яких можна застосовувати ті чи інші матем. операції. Висновки, отримані в результаті цих операцій над параметрами, повинні мати об'єктивний сенс і характеризувати властивості явища, що вивчається, незалежні від використаного нами способу параметризації, тобто, як кажуть, ці висновки повинні бути інваріантними щодо вибору системи координат.
Під час вивчення конкретних завдань вибір системи координат який завжди байдужий. Часто завдяки вдалому вибору координатної системи значно спрощуються викладки, співвідношення набувають простої форми, і це полегшує встановлення шуканих властивостей об'єктів, що вивчаються. Одна із гол. задач Т. а. полягає в тому, щоб визначити критерії, що дозволяють виявити інваріантність тих чи інших виразів, складених за допомогою параметрів спец. систем координат.
У фізиці найчастіше розглядаються тензорні поля, що залежать від точки тривимірного евклідова простору (в механіці, теорії пружності, електродинаміки і т. д.) або від точки чотиривимірного псевдоевклідова простору (див. Мінковського простір-час) (в теорії відносності, теорії поля т. д.). Проте т.зв. теорема про існування локальних гомеоморфізмів у багатовимірних областях дозволяє будувати Т. а. на різноманіттях будь-якого (кінцевого) числавимірів.
Фіз. прикладами скалярних полів, т. е. тензорних полів рангу 0, є: темп-pa нерівномірно нагрітого тіла, потенціал неоднорідного ел-статич. поля, щільність неоднорідного тіла, тиск у неоднорідному газовому середовищі. Як приклади векторних полів, тобто тензорних полів рангу 1, можна розглядати чотиривимірний вектор ел-магн. поля або чотиривимірний вектор щільність струму.
Над тензорними полями можна здійснювати самі алгебраїч. дії, як і над тензорами, маю на увазі, що це тензорні поля беруться у тому точці.
У Т. а. в осн. вивчаються диференц. операції над тензорними полями При цьому потрібні такі узагальнення цих операцій, які при застосуванні до тензорних полів зберігають їх тензорну структуру.
Приватні похідні компонент тензорного поля за координатами x i не є, взагалі кажучи, тензорним полем. Це пов'язано з тим, що при переході від однієї точки до іншої змінюються не тільки компоненти тензора (для простоти іноді тензорне поле називатимемо тензором), але і локальна координатна система, в якій визначаються ці компоненти. Тому різницю між " значеннями " тензора у точках (х 1 +dx 1 . x n + dx n )и(x 1 . x n ) може бути визначено як нескінченно мале збільшення тензорного поля чи його диференціал. Натомість у Т. а. визначається а б с о л ю т н й й і фе р е н ц і а л DT тензора Т з диференційованими компонентами, що задовольняє постулатам:
1) абс. диференціал DT є тензором того самого рангу, що і Т;
2) мають місце слід. правила диференціювання
де (АВ)-зовніш. добуток тензорів А і В. Якщо тензор Т задається в римановому просторі компонентами, що диференціюються, то компоненти його абс. диференціалавизначаються ур-нями
де -коваріантна похідна тензора Т,
тут Г i jk - Крістофеля символи другого роду, пов'язані з метрич. тензором слід. чином:
Зазначимо, що самі символи Крістофеля не є тензорами.
Знаходження коваріантної похідної зв. коваріантним диференціюванням. Коваріантна похідна тензорного поля утворює тензорне поле, що має на один коваріантний індекс більше, ніж вихідне поле. Напр., якщо t i (x 1 , . х n )- кваріантне тензорне поле рангу 1, тобто кваріантне векторне поле, то коваріантна похідна цього тензора
і є коваріантним тензором рангу 2. Якщо t i (x 1 , .
і є контраваріантним тензором рангу 1 і коваріантним тензором рангу 1, Правила коваріантного диференціювання для суми та добутку тензорів збігаються з правилами звичайного диференціювання, Коварйантне диференціювання перестановочно зі згортанням.
У декартових прямокутних. координатах (де символи Крі-стоффеля дорівнюють нулю) і для скалярного поля коваріантна похідна збігається зі звичайною.
Коваріантне диференціювання на ріманових різноманіттях некоммутативно. Напр., для будь-якого вектора з компонентами t i взагалі кажучи, т, до, де R i ljk - тензор Рімана -Крістоффеля (кривизни тензор)риманова простору.
Для ріманова простору з фундам. метрич. тензором g ik виконуються співвідношення (теорема Річчі), де g = detg ik, тобто фундам. тензори поводяться як константи щодо підступного диференціювання.
Важливу роль Т. а. граєКонцепція інваріанту. Інваріантом зв. вираз, складене з величин, що залежать від вибору системи координат, яке не змінює свого значення і структуру при заміні одних координат іншими.
Т. а. був побудований у 19 ст. в осн. італ. математиками Г. Річчі та Т. Леві-Чивітою. Швидкий розвиток тензорного аналізу у 20 ст. було стимульоване створенням А. Ейнштейном загальної теорії відносності, матем. апаратом до-рой є тензорне обчислення.
Кочин H. E., Векторне обчислення і початки тензорного обчислення, 9 видавництво, М., 1965; Рашевський П. До., Риманова геометрія та тензорний аналіз, 3 видавництва, М,, 1967; Мак-Коннел А. Д., Введення у тензорний аналіз, пров. з англ., М., 1963; Схоутен Я-А., Тензорний аналіз для фізиків, пров. з англ., М., 1965; Сокольніков І. С., Тензорний аналіз. Теорія та застосування в геометрії та в механіці суцільних середовищ, пров. з англ., М., 1971; Векуа І. Н., Основи тензорного аналізу та теорії коваріантів, М., 1978. С. І. Азаков.