Теорема косінусів формула, наслідки та приклади рішень
Формула теореми косінусів
Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними.
Тобто для плоского трикутника (рис. 1) зі сторонами $a$, $b$ і $c$ і кутом $\alpha$, що протилежить стороні $a$, справедливе співвідношення:
Теорема косінусів є узагальненням теореми Піфагора. Твердження, що узагальнюють теорему Піфагора та еквівалентні теоремі косінусів, були сформульовані окремо для випадків гострого та тупого кута у 12 та 13 пропозиціях II книги "Початок" давньогрецького математика Евкліда (бл. 300 р. до н. е.). Твердження, еквівалентні теоремі косинусів для сферичного трикутника, застосовувалися в творах математиків країн Середньої Азії. Теорему косінусів для сферичного трикутника у звичному нам вигляді сформулював видатний німецький астролог, астроном і математик Регіомонтан (1436 - 1476), назвавши її "теоремою Альбатегнія" (на ім'я видатного середньовічного астронома та математика Абу Абдаллаб Мух 58 - 929).
У Європі теорему косінусів популяризував французький математик Франсуа Вієт (1540 – 1603) у 16 столітті. На початку 19 століття її почали записувати в прийнятих до цього дня алгебраїчних позначеннях.
Наслідок з теореми косінусів
Теорема косінусів може бути використана для знаходження косинуса кута трикутника (рис. 1):
Якщо $b^+c^-a^>0$, то кут $\alpha$ - гострий;
Якщо $b^+c^-a^=0$, то кут $\alpha$ - прямий;
Завдання. У трикутнику $ABC AC=3, BC=5$ і $AB = 6 .$ Знайти кут, що протилежить стороні $AB$
Рішення. Відповідно до слідства з теореми косінусів, маємо:
$$\angle A C B=\arccos\left(-\frac\right)$$
Відповідь. $\angle A C B=\arccos \left(-\frac\right)$
Завдання. Задано трикутник $ABC$, довжини сторін якого $AC=17, BC=14, \angle ACB=60^$. Знайти довжину третьої сторони трикутника, що розглядається.
Рішення. Відповідно до теореми косінусів
$$A B^=A C^+B C^-2 \cdot A C \cdot B C \cdot \cos \angle A C B=$$
$$=17^+14^-2 \cdot 17 \cdot 14 \cdot \cos 60^=289+196-238=24$$