Теорема Лапласа
Теорема Лапласа - одна з теорем лінійної алгебри. Названа на честь французького математика П'єра-Симона Лапласа (1749 - 1827), якому приписують формулювання цієї теореми в 1772 [1], хоча окремий випадок цієї теореми про розкладання визначника по рядку (стовпцю) був відомий ще Лейбніцу.
Для початку введемо кілька визначень.
Нехай - матриця розміру, і нехай вибрані будь-які рядки матриці з номерами і будь-які стовпці з номерами.
Визначник матриці, одержуваної з викресленням всіх рядків і стовпців, крім вибраних, називаєтьсямінором-го порядку, розташованим у рядках з номерами та стовпцях з номерами . Він позначається так:
А визначник матриці, що отримується викреслюванням тільки вибраних рядків і стовпців з квадратної матриці, називається додатковим мінором до мінору :
де і — номери невибраних рядків та стовпчиків.
Алгебраїчне доповненнямінору визначається наступним чином:
де , .
Справедливим є наступне твердження.
Нехай вибрані будь-які рядки матриці. Тоді визначник матриці дорівнює сумі всіляких творів мінорів-го порядку, розташованих у цих рядках, на їх додатки алгебри. де підсумовування ведеться за всілякими номерами стовпців
Число мінорів, за якими береться сума в теоремі Лапласа, дорівнює кількості способів вибрати стовпців з , тобто біномного коефіцієнта .
Оскільки рядки та стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і стовпців матриці.
Розглянемо квадратну матрицю
Виберемо другий і четвертий рядки і розкладемо визначник цієї матриці за теоремою Лапласа. Зауважимо, що у цих рядках усі міноридругого порядку, крім , містять нульові стовпці, тобто. свідомо дорівнюють нулю і на суму в теоремі не впливають. Тому визначник дорівнюватиме:
З наведеного прикладу видно, що теорема Лапласа спрощує обчислення визначників не всіх матриць, лише матриць особливого виду. Тому практично частіше використовуються інші методи, наприклад, метод Гаусса. Теорема більше застосовується для теоретичних досліджень
Розкладання визначника по рядку (стовпцю) (Слідство 1)
Широко відомий окремий випадок теореми Лапласа - розкладання визначника по рядку або стовпцю. Він дозволяє уявити визначник квадратної матриці як суми творів елементів будь-якої її рядка чи стовпця з їхньої алгебраїчні доповнення.
Нехай - квадратна матриця розміру. Нехай також заданий певний номер рядка чи номер стовпця матриці. Тоді визначник може бути обчислений за такими формулами:
Розкладання по-й рядку:
Розкладання по-му стовпцю:
де — додаток алгебри до мінора, розташованого в рядку з номером і стовпці з номером . також називають алгебраїчним доповненням до елемента.
Твердження є окремим випадком теореми Лапласа. Достатньо в ній покласти рівним 1 і вибрати рядок, тоді мінорами, розташованими в цьому рядку будуть самі елементи.
розглянемо квадратну матрицю
Розкладемо визначник за елементами першого рядка матриці:
(Зверніть увагу, що алгебраїчне доповнення до другого елемента першого рядка має негативний знак).
Також визначник можна розкласти, наприклад, за елементами другого стовпця:
Наслідок 2 (фальшиве розкладання визначника)
Сума творів всіх елементів деякого рядка (стовпця) матриці А наалгебраїчні доповнення відповідних елементів будь-якого іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.
Доказ.Розглянемо суму творів всіх елементів довільного k-го рядка матриці А на алгебраїчні доповнення відповідних елементів будь-якого іншого, скажімо, i-го рядка матриці А. Нехай A′ – матриця, у якої всі рядки, крім i -ой, такі ж, як у матриці А, а елементами i-го рядка матриці A' є відповідні елементи k-го рядка матриці А. Тоді у матриці A' два однакові рядки і, отже, за властивістю матриці про однакові рядки маємо, що A′ = 0 . З іншого боку, за наслідком 1 визначник A′ дорівнює сумі творів всіх елементів i-го рядка матриці A′ на їх додатки алгебри. Зауважимо, що додатки алгебри елементів i-го рядка матриці A′ збігаються з алгебраїчними доповненнями відповідних елементів i-го рядка матриці А. Але елементами i-го рядка матриці A′ є відповідні елементи k-ого рядка матриці А. Таким чином, сума творів всіх елементів i-го рядка матриці A′ на їх алгебраїчні доповнення з одного боку дорівнює нулю, а з іншого боку дорівнює сумі творів всіх елементів k-го рядка матриці А на додатки алгебри відповідних елементів i-го рядка матриці А.
Примітки
- ↑Smith, D. E.Project Gutenberg's History of Modern Mathematics . - P. 18.
Список литературы
- Ільїн, Ст А., Позняк, Е. Г.Лінійна алгебра. - 6-те вид. - М.: Фізматліт, 2005. - С. 25-27. - ISBN 5-9221-0481-0
- Прасолов, В. В.Завдання та теореми лінійної алгебри. - 2-ге вид. - М., 2008. - С. 42-45.