Теорема про чотири вершини
Теорема про чотири вершинистверджує, що функція кривизни простої замкнутої гладкої плоскої кривої має щонайменше чотири локальні екстремуми (зокрема, щонайменше два локальних максимуми і щонайменше два локальні мінімуми). Назва теореми відбиває угоду називати екстремальні точки функції кривизни вершинами.
Зміст
- Еліпс з нерівними півосями має точно чотири вершини — два локальні максимуми кривизни в місцях перетину еліпса з великою віссю, і два локальних мінімуми в місцях перетину з малою віссю.
- На колі всі точки є як локальними максимумами, і локальними мінімумами кривизни, отже у ньому нескінченно багато вершин.
- Існують самоперетинаються замкнуті криві з двома вершинами; така наприклад Равлик Паскаля із самоперетином. Тобто умова прості кривої в теоремі є суттєвою.
Теорема про чотири вершини спочатку доведена для опуклих кривих (тобто кривих зі строго позитивною кривизною) в 1909 індійським математиком Мукхопадхьяей [en] [1] . Його доказ використовує факт, що точки кривої є екстремумами функції кривизни тоді і тільки тоді, коли стикається коло має в цій точці 3-й порядок торкання з кривою (в загальному випадку коло має лише другий порядок торкання з кривою). Теорема про чотири вершини доведена в загальному випадку Адольфом Кнезером в 1912 за допомогою ідей проективної геометрії [2] . Наразі відомо кілька доказів, що ґрунтуються на різних ідеях. Одне з найпростіших запропоноване Робертом Осерманом засновано на розгляді мінімального покриваючого кола. [3]
Одним із наслідків теореми є те, що котиться горизонтальноюплощині під силою тяжкості однорідний плоский диск має щонайменше 4 точки рівноваги. Дискретна версія цього твердження свідчить, що може існувати моностатичний багатокутник [en] . У тривимірному просторі, однак, моностатичний багатогранник існує і існує опуклий однорідний об'єкт з двома точками рівноваги (одна стійка, і одна нестійка) — гомбець.