Теорія категорій, Наука, FANDOM powered by Wikia

Теорія категорій- розділ математики, що вивчає властивості відносин між математичними об'єктами, що не залежать від внутрішньої структури об'єктів.

Зміст

Визначення

Категорія$ \mathcal $ - це:

• класоб'єктів$ Ob_> $;
• для кожної пари об'єктівA,Bзадано безлічморфізмів(або стрілок) $ \mathrm_>(A,B) $ , причому кожному морфізму відповідає єдиніAіB;
• для пари морфізмів $ f\in \mathrm(A,B) $ і $ g\in \mathrm(B,C) $ визначена композиція $ g\circ f\in \mathrm(A,C) $;
• для кожного об'єкта $ A $ заданий тотожний морфізм $ id_A \ in \ mathrm (A, A) $;

причому виконуються дві аксіоми:

Комутативні діаграми

Подвійність

Основні визначення та властивості

Ізоморфізм, ендоморфізм, автоморфізм

Морфізм $ f\in \mathrm(A,B) $ називаєтьсяізоморфізмом, якщо існує такий морфізм $ g \in \mathrm(B,A) $ , що $ g\circ f = id_A $ і $ f\circ g = id_B$. Два об'єкти, між якими існує ізоморфізм, називаютьсяізоморфними. Зокрема тотожний морфізм є ізоморфізмом, тому будь-який об'єкт ізоморфний сам собі.

Морфізми, в яких початок і кінець збігаються, називають ендоморфізмами. Багато ендоморфізмів $ \mathrm(A) = \mathrm(A,A) $ є моноїдом щодо операції композиції з одиничним елементом $ id_A $ .

Ендоморфізми, які одночасно є ізоморфізмами, називаютьсяавтоморфізмами. Автоморфізми будь-якого об'єкта утворюють групу автоморфізмів $\mathrm(A)$ за композицією.

Мономорфізм, епіморфізм, біморфізм

Мономорфізм- це морфізм $f\in \mathrm(A,B) $ такий, що для будь-яких $ g_1,g_2\in \mathrm(X,A) $ з $ f\circ g_1 = f\circ g_2 $ слід, що $ g_1=g_2 $ . Композиція мономорфізмів є мономорфізмом.

Епіморфізм- це такий морфізм, що для будь-яких $ g_1, g_2 \ in \ mathrm (B, X) $ з $ g_1 \ circ f = g_2 \ circ f $ слідує $ g_1 = g_2 $ .

Біморфізм- це морфізм, що є одночасно мономорфізмом та епіморфізмом. Будь-який ізоморфізм є біморфізм, але не будь-який біморфізм є ізоморфізм.

Ініціальний та термінальний об'єкти

Подвійним чином визначаєтьсятермінальнийабоуніверсально притягуючий об'єкт— це такий об'єкт, у який існує єдиний морфізм з будь-якого іншого об'єкта.

Твір та сума об'єктів

Виробництвооб'єктівAіB— це об'єкт $A\times B$ з морфізмами $p_1: A\times B\to A$ і $p_2: A \times B \to B $ такими, що для будь-якого об'єкта $ C $ з морфізмами $ f_1: C\to A $ і $ f_2: C\to B $ існує єдиний морфізм $ g: C \to A\times B $ такий , Що діаграма справа коммутативна. Морфізм $p_1: A\times B\to A$ і $ p_2: A\times B\to B$ називаютьсяпроекціями.

Дуально визначаєтьсяпряма сумааботвір$ A + B $ об'єктів $ A $ і $ B $ . Відповідні морфізму $ \imath_A: A\to A+B $ і $ \imath_B: B \to A+B $ називаютьсявкладеннями. Незважаючи на свою назву, у загальному випадку вони можуть і не бути мономорфізмами.

Якщо твір і копітвір існують, то вони визначаються однозначно з точністю до ізоморфізму.

Функтори

Контраваріантний функтор, абокофунктор- це функтор з $ \mathcal $ $ \mathcal^ $ , тобто «функтор, що перевертає стрілки».

---