Умови, за яких матриця подібна до діагональної матриці
Умови, за яких матриця подібна до діагональної матриці - розділ Математика, Лінійна алгебра Нехай A – Квадратна Матриця. Можна вважати, що це Матриця деяких.
НехайA– квадратна матриця. Можна вважати, що це матриця деякого лінійного оператора, заданого в якому-то базисі. Відомо, що в іншому базисі матриця лінійного оператора набуде іншого вигляду, зокрема, як в одному з попередніх прикладів 9.3, діагональний. Це означає, що вихідна матриця подібна до діагональної матриці. Виникає питання: чи завжди ця матриця подібна до діагональної? Як це встановити? Як знайти відповідний базис?
Теорема 9.14. МатрицяAподібна до діагональної матриці тоді і тільки тоді, коли лінійний оператор j, заданий цією матрицею, маєnлінійно незалежних власних векторів.
Доказ. Нехай матрицяAподібна до діагональної матриці, тобто у лінійного оператора j з матрицеюA=M(j) в деякому базисіс1 ,с2, …,сnматриця набуде наступного виглядуM'(j) = . Використовуючи матрицю, знайдемо образи базисних векторів: j(с1) = l1с1, j(с2) = l2с2, …, j(сn) = lnсn. Отриманоnлінійно незалежних власних векторів.
У лінійного оператора j єnлінійно незалежних власних векторівс1,с2, …,сnз власними значеннями l1, l2, …, ln. Виберемо векторис1,с2, …,сnяк базисні вектори і знайдемо матрицю оператора j в цьому базисі. Використовуючи рівності j(с1) = l1с1, j(с2) = l2с2, …, j(сn) = lnсnскладемо матрицюM'(j):M'(j) = .
Теорема 9.15. Якщо матрицяAмаєnпопарно різнихвласних значень, вона подібна до діагональної матриці.
Це твердження ґрунтується на властивості власних векторів: попарно різним власним значенням відповідають лінійно незалежні власні вектори.
Приклад 9.8. Привести матрицюAдо діагонального вигляду, якщо це можливо, вказати базис та матрицю переходу.
1)A= . Для цього випадку власні вектори вже знайдені (приклад 9.7), лінійно незалежних векторів виявилося лише 2, а в базисі має бути 3. Висновок : матрицяAдо діагонального вигляду не наводиться. Іншими словами: матриця A не подібна до діагональної.
2)A= . Знаходимо власні значення матриціA. Обчислимо визначник
A– lE= = =
=(1 – l) = (1 – l) =
= (1 – l)×1×(–1) 2 + 2 × = (1 – l)((7 – l)(–7 – l) – 6(–8)) =
= (1 – l)(l 2 – 1) = –(l + 1)(l – 1) 2 = 0. Тоді l1 = l2 = 1, l3 = –1 – власні значення матриціA.
Знаходимо власні вектори, які відповідають цим власним значенням. Розглянемо випадок l1 = l2 = 1. Вирішуємо однорідну систему лінійних рівнянь
(1 –2 1), тодіх1 = 2х2 –х3 –загальне рішення системи, векториз1 = (2, 1, 0)з2 = (1, 0, –1) лінійно незалежні власні вектори з власним значенням l1 = l2 = 1.
Розглянемо випадок l3 = -1. Отримуємо систему. Вирішуючи її, отримаємо лише один лінійно незалежний власний векторс3 = (3, 5, 6).
Знайдено три лінійно незалежні власні векторис1,с2,с3. Виберемо їх як новий базис і знайдемо матрицю лінійного оператора в цьому базисі.
Оскільки j(з1) = 1з1, j(з2) = 1з2, j() с3) = (–1)с3, то матриця лінійного оператораM'(j) = іT= -матриця переходу від старого базису до нового.