Урок «Метод координат у просторі
Короткий опис документа:
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:
Якщо через точку простору проведено три попарно перпендикулярні прямі, на кожній з яких вибрано напрямок та одиничний відрізок, то кажуть, що задана прямокутна система координат у просторі.
Прямі з обраними ними напрямками називаються осями координат і позначаються так: Ох, Оy, Оz, мають свої назви: вісь абсцис, вісь ординат і вісь аплікат відповідно, які загальна точка – початком координат. Зазвичай вона позначається літерою Про.
Вся система координат позначається Охуз.
Якщо через осі координат Ох та Оу, Оу та Оz, Оz та Ох провести площини, то такі площини будуть називатися координатними площинами та позначатимуться: Оху, Оуz, Оzх відповідно.
Точка О поділяє кожну осі координат на два промені. Промінь, напрям якого збігається з напрямком осі, називається позитивною піввіссю, а інший промінь негативною піввіссю.
У прямокутній системі координат кожної точки М простору зіставляється трійка чисел, які називаються її координатами. Вони визначаються аналогічно координат точок на площині.
Подивимося, як це робиться.
Проведемо через точку М три площини, перпендикулярні до осей координат, і позначимо через М₁, М₂ і М₃ точки перетину цих площин відповідно з осями абсцис, ординат і аплікат.
Перша координата точки М (вона називається абсцисою і позначається зазвичай літерою х) визначається так: х = ЗМ₁, якщо М₁ - точка позитивної півосі;
х= - ЗМ₁, якщо М₁ - точка негативної півосі; х =0, якщо М₁ збігається з точкою О.
Аналогічно за допомогоюточки М₂ визначається друга координата (ордината) у точки М,
а за допомогою точки М₃ - третя координата (апліката) z точки М.
Координати точки М записуються в дужках після позначення точки М (х; у; z).
Запам'ятайте, що першою вказують абсцису, другою – ординату, третьою – аплікату.
Знайдемо координати точок А, В, З, D, E, F, що представлені на малюнку.
Проведемо через точку А три площини, перпендикулярні до осей координат, тоді точки перетину цих площин відповідно з осями абсцис, ординат та аплікат будуть координатами точки А. Точка А має координати: абсциса = 9, ордината = 5, апліката = 10 і записується це так : А (9; 5; 10).
Аналогічно записуються координати наступних точок:
Точка має координати: абсциса = 4, ордината = -3, аплікату = 6
Точка має координати: абсциса = 9, ордината = 0, аплікату = 0
Крапка має D координати: абсциса = 4, ордината = 0, аплікату = 5
Крапка Е має координати: абсциса = 0, ордината = 8, аплікату = 0
Крапка F має координати: абсциса = 0, ордината = 0, аплікату = -3
Якщо точка М (х; у; z) лежить на координатній площині на осі координат, то деякі її координати дорівнюють нулю.
Якщо МЄОху (точка М належить до площини Оху), то апліката точки М дорівнює нулю: z=0.
Аналогічно, якщо МЄОхz (точка М належить до площини Оxz), то у = 0, а якщо МЄОуz (точка М належить до площини Oyz), то х = 0.
Якщо МЄОх (точка М лежить на осі абсцис) ордината та апліката точки М дорівнюють нулю: у=о та z=0. У прикладі це точка З.
Якщо МЄОу (точка М лежить на осі ординат), то х=0 та z=0. У прикладі це точка Е.
Якщо МЄОz (точка М лежить на осі аплікат), то х = 0 та у = 0. У нашомуПриклад це точка F.
Якщо всі три координати точки М дорівнюють нулю, це означає, що М=О (0; 0; 0) – початок координат.
Дано координати чотирьох вершин куба ABCDA1B1C1D1: A(0; 0; 0); B(0; 0; 1); D(0; 1; 0); A1(1; 0; 0). Знайдіть координати решти вершин куба.
Оскільки фігура — куб, всі сторони рівні одиниці, всі грані є квадратами.
Точка С належить площині Оху, тобто її координата z дорівнює нулю, координата х дорівнює стороні ЦД і дорівнює АВ, отже дорівнює одиниці, координата ігор дорівнює стороні куба СВ, значить дорівнює АТ і дорівнює одиниці.
Аналогічно, Точка В1 належать площині Охz, тобто її координата y дорівнює нулю, координата х дорівнює стороні координата х дорівнює стороні А1B1 і дорівнює АВ означає дорівнює одиниці, координата зет дорівнює стороні куба В1 означає дорівнює АА1 і дорівнює одиниці.
Точка Д1 належить площині Оуz, тобто її координата х дорівнює нулю, координата у дорівнює стороні А1Д1 і дорівнює АТ, значить дорівнює одиниці, координата зет дорівнює стороні куба А1В1 , значить дорівнює АВ і дорівнює одиниці.
Точка С1 не належить ніякій площині, тобто всі координати відмінні від нуля, координата х дорівнює стороні C1D1 і дорівнює АB, значить дорівнює одиниці, координата ігор дорівнює стороні куба В1С1 , значить дорівнює АТ і дорівнює одиниці, і координата зет дорівнює є AA1 і також дорівнює одиниці.
Знайдіть координати проекцій точки C(; ; ) на координатні площини Oxy, Oxz, Oyz та координатні осі Ox, Oy, Oz.
1) опустимо перпендикуляри на площину Oxy - це CN, на площину Oxz - CL, і на площину Oyz пряма CR.
Таким чином, проекція точки С на площину Oxy це точка N і вона має координати ікс рівний мінус корінь з трьох, гравець дорівнює мінус корінь з двох на два, зет дорівнює нулю.
Проекція точки С на площину Oxz - це точка L і вона має координати ікс дорівнює мінус корінь з трьох, ігр дорівнює нулю, зет дорівнює корінь з п'яти мінус корінь з трьох.
Проекція точки С на площину Oyz - це точка R і вона має координати ікс дорівнює нулю, гравець дорівнює мінус корінь з двох на два, зет дорівнює корінь з п'яти мінус корінь з трьох.
2) З точки N проводимо перпендикуляри на вісь Ох - пряма NK, а на Оу - пряма NG, і на вісь Оz проводимо перпендикуляр із точки R - це пряма RP.
Проекція точки С на вісь Ох - точка К має координати ікс рівний мінус корінь з трьох, а ігрок і зет дорівнюють нулю.
Проекція точки С на вісь Оy– точка G має координати ікс ізетів дорівнюють нулю, ігрок дорівнює мінус корінь з двох на два.
Проекція точки С на вісь Оz– точка P має координати ікс та ігор дорівнює нулю, зет рівний корінь із п'яти мінус корінь із трьох.