Урок «Обсяг конуса»
Короткий опис документа:
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ УРОКУ:
Ми продовжуємо вивчення розділу стереометрії "Тіла обертання".
До тіла обертання відносять: циліндри, конуси, кулі.
Висота - це відстань від вершини фігури або тіла до основи фігури (тіла). Інакше – відрізок, що з'єднує вершину та основу фігури та перпендикулярний йому.
Згадаймо, щоб знайти площу кола потрібно помножити на квадрат радіуса .
Площа кола дорівнює.
Згадаймо, як знайти площу кола, знаючи діаметр? Так як
підставимо у формулу:
Конус також є тілом обертання.
Конусом (точніше, круговим конусом) називається тіло, яке складається з кола - основи конуса, точки, що не лежить у площині цього кола, - вершини конуса і всіх відрізків, що з'єднують вершину конуса з точками основи.
Познайомимося із формулою знаходження обсягу конуса.
Теорема. Обсяг конуса дорівнює одній третині твору площі основи висоту.
Доведемо цю теорему.
Дано: конус, S - площа його основи,
h - висота конуса
Доказ: Розглянемо конус об'ємом V, радіусом основи R, висотою h та вершиною у точці O.
Введемо вісь Оx через ОМ - вісь конуса. Довільний переріз конуса площиною, перпендикулярної до осі Ох, є колом з центром у точці
М1 – точці перетину цієї площини з віссю Ох. Позначимо радіус цього кола через R1, а площу перерізу через S(х), де х - абсцис точки М1.
З подоби прямокутних трикутників ОМ1A1 і ОМА (? ОМ1A1 = ? ОМА — прямі, ? МОА-загальний, значить, трикутники подібні по двох кутах) слід, що
З малюнка видно що ОМ1 = х, OM = h
або звідки за якістю пропорції знаходимо R1 = .
Оскільки перерізом є коло, то S(х)=πR12 , підставимо замість R1 попередній вираз, площа перерізу дорівнює відношенню добутку піер квадрата на квадрат х до квадрата висоти:
Застосуємо основну формулу
обчислення об'ємів тіл, при а=0, b=h, отримаємо вираз (1)
Так як основа конуса – коло, то площа S основи конуса дорівнюватиме пи ер квадрат
у формулі обчислення об'єму тіла замінимо значення пі ер квадрат на площу основи та отримаємо, що об'єм конуса дорівнює одній третині твору площі основи на висоту
Наслідок з теореми (формула об'єму усіченого конуса)
Об'єм V усіченого конуса, висота якого дорівнює h, а площі основ S та S1, обчислюється за формулою
Ве одно одна третя аш помножене на суму площ основ і кореня квадратного з добутку площ основи.
Прямокутний трикутник із катетами 3 см і 4 см обертається біля гіпотенузи. Визначте об'єм отриманого тіла.
При обертанні трикутника навколо гіпотенузи одержуємо конус. При вирішенні цього завдання важливо розуміти, що можливо два випадки. У кожному з них ми застосовуємо формулу для знаходження обсягу конуса: обсяг конуса дорівнює одній третині твору основи на висоту
У першому випадку малюнок виглядатиме таким чином: дано конус. Нехай радіус r = 4, висота h = 3
Обсяг конуса дорівнює одній третині твору площі основи на висоту:
Площа основи дорівнює добутку π на квадрат радіусу
Тоді об'єм конуса дорівнює одній третині добутку π на квадрат радіуса і на висоту.
Підставимо формулу значення, виходить, обсяг конуса дорівнює 16π.
У другому випадку ось так: дано конус. Нехай радіус r = 3, висота h = 4
Об'єм конуса дорівнює однійтретини твору площі основи на висоту:
Площа основи дорівнює добутку π на квадрат радіусу:
Тоді об'єм конуса дорівнює однієї третини добутку π на квадрат радіуса і на висоту:
Підставимо формулу значення, виходить, обсяг конуса дорівнює 12π.
Відповідь: Об'єм конуса V дорівнює 16 π або 12 π
Завдання 2. Даний прямий круговий конус із радіусом 6 см, кут ВСО = 45 .
Знайдіть об'єм конуса.
Рішення: До цього завдання дається готове креслення.
Запишемо формулу для знаходження об'єму конуса:
Виразимо її через радіус основи R:
Знаходимо h = BO з побудови, – прямокутний, т.к. кут ВОС=90 (сума кутів трикутника), кути при основі рівні, означає трикутник ΔBOC рівнобедрений і BO=OC=6 см.