Урок - Збільшення різниці двох виразів на їх суму
Короткий опис документа:
Вирішуючи різні приклади з многочленами, у яких доводиться робити операції розкладання полінома на множники, можна побачити, деякі висловлювання зустрічаються досить часто. Числові коефіцієнти суто індивідуальні, а ось форма буквеного виразу має принципово меншу гнучкість, тому багато рівнянь мають, на перший погляд, загальну основу.
Воно досить просте, і його можна легко сформулювати словами: добуток суми та різниці двох довільних змінних. Подібна конструкція неодноразово зустрічається як у найпростіших виразах, які потрібно визначити, так і у складних рівняннях. Тому корисно вивчити значення цього літерного виразу. Обчислимо його, користуючись правилом перехресного множення:
(а - с) (а + с) = а 2 + ас - ас - с2 = а 2 - с 2
Як бачимо, у процесі розрахунків добуток змінних ас взаємозменшується, залишаючи лише квадрати. Можна сформулювати цю формулу такими словами: добуток суми та різниці двох чисел дорівнює різниці квадратів цих чисел, або:
(а - с) (а + с) = а 2 - з 2
Застосування цієї формули дозволяє скоротити кількість дій, необхідні складних комплексних вправ. Крім того, дуже часто ФСУ допомагають перетворити висловлювання так, що тільки після цієї операції можливе отримання відповіді.
Вирішуємо, використовуючи ФСУ:
(4а + 2с) (4а - 2с) = (4а) 2 - (2с) 2 = 16а 2 - 4с 2
При вирішенні цієї вправи необхідно пам'ятати, що квадрат, згідно з формулою, зводиться одночлен повністю, а не тільки літерна частина. Якщо змінна стоїть певною мірою, вона множиться він саму. Якщо призмінний коефіцієнт – його так само потрібно зводити в квадрат. Розглянемо складніший варіант. Вирішимо вираз, використовуючи ФСУ:
(3а 3 + 2с 5) (3а 3 - 2с 5) = (3а 3) 2 - (2с 5) 2 = 9а 6 - 4с 10
У багатьох інших вправах доводиться вирішувати зворотне завдання – наводити вираз до виду (а 2 – з 2) і розбивати його, згідно з формулами скороченого множення, на добуток суми та різниці. Це буває необхідним у тих випадках, коли багаточлен потрібно подати у вигляді твору. Наприклад, вирішимо таке завдання. Подаємо у вигляді твору наступне вираз:
2х 2 - 5у 2 + 7х 2 + у 2
Проведемо склад алгебри, а також використовуємо ФСУ для швидкого перетворення:
2х 2 - 5у 2 + 7х 2 + у 2 = 9х 2 - 4у 2 = (3х + 2у) (3х - 2у)
Формули для швидкого твору використовують і в комплексі з іншими елементами алгебри. Спростимо вираз:
-3а(а – 1)(а +1) + (а + 9)(а – 9)
Незважаючи на всю громіздкість, вираз, що представляється, легко розбивається за допомогою подвійного застосування ФСУ. Отримуємо і вирішуємо наступний багаточлен:
-3а(а – 1)(а +1) + (а + 9)(а – 9) =
= -3а(а 2 – 1) + а 2 – 81 =
= -3а 3 + а 2 + 3а - 81
Отже, прийоми скороченого множення дозволяють помітно спростити розв'язання багатьох математичних завдань.