Узагальнені перетворення Лоренца та їхзастосування Відмінність
Різниця між (9.2) та (9.3) не тільки в цьому. У електродинаміці у плоскому просторі коефіцієнти Ламе характеризують геометричні властивості координатної системи, і навіть системи відліку, але з електромагнітне поле. Оскільки згідно з припущенням Ейнштейна g^lv визначає також гравітаційне поле, це припущення автоматично відноситься і до узагальнених коефіцієнтів Ламе. Таким чином, хоча в буквальному розумінні рецепт перевизначення польової функції в електродинаміці і не підходить до ОТО, але в поєднанні із зазначеною ейнштейнівською ідеєю наштовхує на новий спосіб перевизначення - заміни g^v узагальненими коефіцієнтами Ламе, які виступають у ролі нового варіанта гравітаційних потенціалів, що мають локальний індекс. На відміну від напруженостей електромагнітного поля та від метричного гравітаційного потенціалу з зошитовими гравітаційними потенціалами Zi^fe пов'язано 2 види перетворень: перетворення глобальних координат та локальне лоренцеве перетворення. Тим самим вимога локальної справедливості СТО виражається повніше і за допомогою локальних лоренцевих перетворень. Внаслідок ейнштейнова припущення, що властивості поля та простору характеризуються загальним набором величин, нескінченно мале лоренцеве перетворення зошитових векторів ek при переносі їх з точки в точку стає еквівалентним введенню афінної зв'язності. Ця еквівалентність вимагає запровадження зв'язності спеціального виду, що задається коефіцієнтами обертання Річчі. Тому вихідним структурним елементом при побудові рівняння Ейнштейна в новому, зошитовому уявленні також може служити тензор Рімана, але як диференціальний комітант від коефіцієнтів обертання Річчі уь, що задовольняє (3.72).Обмежившись риманової геометрією та вводячи локально-світові компоненти тензора Річчі
Rno = ^fcflfcnil0f R = HonRna, (9.4)
139. приходимо до ейнштейнівського рівняння у зошитній формі [33, 65, 111, 160, 167, 169]:
Rno-^hnoR = KTno (9.5)
щодо 16 невідомих зошитових польових функцій hon, Tno - тензор енергії-імпульсу. Очевидно,
Wv = KnRnv, (^v = RJ, (9.6)
де тензор Річчі Ron, взагалі кажучи, не симетричний оскільки, наприклад, R(\)2?zR(2)u R(m ф Rm- В силу (9.6) система (9.5) зводиться з 16 до 10 рівнянь. Зошитний аналог тотожностей Біанки знижує далі число незалежних рівнянь також до 6, як і в метричному формулюванні, тому для знаходження зошитового поля тяжіння - 16 зошит Ii^h - потрібно доповнити зошитові рівняння Ейнштейна не тільки 4 умовами типу координатних, але і 6 іншими додатковими калі.
Зошитові рівняння Ейнштейна (9.5) підступні і щодо перетворень глобальних координат і щодо локальних лоренцевих перетворень. Наявність двох видів перетворень у зошитовому формулюванні ОТО, у тому числі одне лоренцево, стимулює запровадження відмінностей понять системи відліку та системи координат. Тоді недолік шести рівнянь у системі (9.5) інтерпретується як вираз вимоги, що система відліку під час побудови теорії принципово має фіксуватися. На такого роду інтерпретації зошитного формулювання спеціально зупинимося у наступному параграфі.
Легко здійснити перехід від метричного до зошитного формулювання ОТО і навпаки. Згорнувши (9.5) з HvJ11 знаходимо
KnKnR = R»o-X-g»oR=*KnTno=K T^ (9.7)
При цьому можливість явного введення локального лоренцевого перетворення втрачається, оскільки
^V = KrKsVrs =Kk'Kn\k>n> = inv. (9.8)
Очевидно, g^v інваріантна щодо будь-якого загального, а не лише власного лоренцевого перетворення [30, 31]. Можливість піддавати тетради лоренцевому перетворенню та наявність зв'язку між б. м. лоренцевим перетворенням та афінною зв'язністю вимагає диференційності локального перетворення Лоренца. Ця вимога зазвичай застав-
але ляет відкинути перетворення відбиття, що входять у загальну групу Лоренца, і обмежитися власним лоренцевим перетворенням, що у свою чергу обмежує вибір калібрувальних умов, який стає еквівалентним завданням 6 параметрів власного перетворення Лоренца.
Обидві формулювання, метричну та зошитну, можна вводити незалежно, у тому числі варіаційним шляхом [117, 170, 296, 297], а (9.8) розглядати як зв'язок між різними можливими польовими функціями. Звичайно, підстановка (9.8) у метричне рівняння ейнштейна приведе до рівняння зошитного. У свою чергу система рівнянь (9.8) із заданими та невідомими Iillk еквівалентна зошитному ейнштейновому рівнянню разом із 4 додатковими, наприклад, координатними умовами. Додавання до системи 10 рівнянь (9.8) шести калібрувальних умов дозволяє знайти всі 16 зошит Iilih.
Таким чином, у зошитовому формулюванні теорії тяжіння аналітичний вираз локальної справедливості СТО дуже розгорнутий і проявляється у використанні локального метричного тензора СТО, нескінченно малих (б. м.) узагальнених перетворень Лоренца, що задаються коефіцієнтами обертання Річчі, кінцевого узагальненого (залежного від координат) перетворення , що вводиться для додаткового калібрування зошит. Попередня 46 47 48 49 50 51 .. 75 >> Наступна