Варіаційна нерівність - Велика Енциклопедія Нафти та Газа, стаття, сторінка 1
Варіаційна нерівність
Варіаційна нерівність (5.1) є універсальною формою запису різних завдань нелінійного аналізу. [1]
Варіаційні нерівності є корисним інструментом дослідження екстремальних завдань та у більш загальних ситуаціях. Наприклад, при відмові від субдиференційованості можна записати варіаційні нерівності такі, що серед їхніх рішень знаходяться і розв'язування екстремальних завдань. [2]
Тоді варіаційна нерівність ( 52) має принаймні одне рішення. [3]
Тоді варіаційна нерівність (5.372) має принаймні одне рішення. [4]
Рішення варіаційної нерівності (5.372), якщо вона існує і має інші похідні (хоча б узагальнені), задовольняє всім рівнянням та умовам завдання в диференціальній постановці. [5]
Завдання розв'язання варіаційної нерівності ставиться так. [6]
Завдання розв'язання варіаційної нерівності (5.1) часто вдається перетворити на інші еквівалентні завдання, що відрізняються від початкової за формою і більш зручними. [7]
Щоб задовольнити варіаційні нерівності розглядаються рішення, що належать спеціальним класам напруг, які складають опуклий множину в просторі допустимих напруг і при цьому допускають параметризацію. У такому підході використовується система рівнянь (6.1.44) щодо змінних v і Р за різних припущень. Деяким обмеженням аналізованого підходу є неоднозначність процедури параметризації класу допустимих напруг. Його застосування не обмежується пружно-пластичними середовищами, див., наприклад, роботу Садовського (2001), де досліджувалась динаміка сипучих середовищ та побудовані чисельні методи типу Годунова.[8]
В силу сказаного вище варіаційна нерівність (х - w, х - г) 0, х - шукана, z - довільна точки Q, якраз і визначає цю точку. [9]
Спроба перейти від варіаційної нерівності ( 75) до завдання мінімізації функціоналу наштовхується на проблему забезпечення не тільки потенційності частини оператора А, пов'язаної з пружним потенціалом, а й на проблему обмеження зовнішніх впливів класом, при якому друге та третє складові в лівій частині нерівності ( 75) в цілому будуть потенційними операторами над полем переміщень та. У загальному випадку нетривіальною є також завдання перевірки умов теореми про існування та єдиність (або не єдиність) рішення. [10]
Завдання зводиться до варіаційних нерівностей або мінімізації деякого функціоналу, а для такого завдання єдиність рішення в певному класі функцій доведена. [11]
У цьому розділі вивчатимуться еволюційні варіаційні нерівності, до яких призводять завдання пластичності. [12]
Припустимо, що рішення варіаційної нерівності (5.14) існує. [13]
Далі здійснюється зворотний перехід – від варіаційної нерівності до локальної постановки (4.106) – (4.110), іноді званої інтерпретацією. Після цього перевіряється, що варіаційна нерівність є необхідною і достатньою умовою мінімуму функціоналу енергії на безлічі полів прогинів, що задовольняють умові непроникнення. [14]
Нижче для широкого класу нелінійних проблем, що описуються варіаційними нерівностями (зокрема, для проблеми мінімізації опуклого функціоналу), пропонується принцип, що дозволяє будувати ефективні ітераційні апроксимації їх рішень у разі, коли стандартні припущення, які забезпечують коректність завдання, не виконуються.Прості апріорні правила зупинки в залежності від похибок вхідних даних перетворюють ці ітеративні апроксимації в ітеративні алгоритми, що регулюють. [15]