Відображення, що диференціюються в нормованих просторах
При [math] X = Y = \mathbb [/math] отримуємо визначення диференціалу та похідної функції однієї змінної.
Встановимо теорему, що узагальнює класичне правило диференціювання складної функції:
Доказ копіює класичний доказ із заміною знака модуля на знак норми.
За визначенням диференціала [math]\Delta z = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0)\Delta y + o(\Delta y)[/math] та [math]\Delta y = f (x_0 + \ Delta x) - f (x_0) = f '(x_0) \ Delta x + o (\ Delta x) [/ math]
[math]g[/math] визначена на околиці точки [math]y_0[/math] . Оскільки [math]\Delta y \to 0[/math] при [math]\Delta x \to 0[/math] та [math]y_0 = f(x_0)[/math] , то при [math]\ Delta x \to 0[/math] , [math]f(x_0 + \Delta x)[/math] належить околиці точки [math]y_0[/math] .
Тоді функція [math]z = g(f(x))[/math] при [math]x = x_0 + Delta x, \Delta x \to 0[/math] коректно визначена.
[math] \ Delta y = f (x_0 + Delta x) - f (x_0) [/ math]
[math]\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = [/math] [math]g(f( x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = [/math] (за визначенням диференціала для [math]g(y)[/math] ) [math]g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =[/math] (за визначенням диференціала для [math]f(x)[/math] ) [math]g'(y_0)f'( x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)[/math]
Разом отримуємо: [math]\Delta g = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y)[/math]
Спрямовуючи [math]\Delta x \to 0[/math] , отримуємо [math]dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x[/math]
Для повного щастя залишилося довести, що [math] o (\ Delta x) = o ( \ Delta y) [/ math] .