відповіді на тести, квитки - відповіді на екзаменаційні питання, 1-й семестр, гф - Квиток .18
Визначення 11.2.Еліпсомназивається безліч точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точокF1 іF2 цієї площини, званихфокусами, є величина постійна.
Зауваження. При збігу точокF1 іF2 еліпс перетворюється на коло.
Виведемо рівняння еліпса, вибравши декартову систему
у М(х,у)координат так, щоб вісьОхзбіглася з прямоюF1F2, початок
r1 r2 координат – з серединою відрізкаF1F2. Нехай довжина цього
відрізка дорівнює 2с, тоді у вибраній системі координат
сума відстаней від неї доF1 іF2 дорівнює 2а.
Тодіr1 +r2 = 2a, але ,
тому Ввівши позначенняb² =a²-c² і провівши нескладні алгебраїчні перетворення, отримаємоканонічне рівняння еліпса:
Визначення 11.3.Ексцентриситетомеліпса називається величинае=с/а(11.2)
Визначення 11.4.ДиректрисаDiеліпса, що відповідає фокусуFi, називається пряма, розташована в одній напівплощині зFiщодо осіОуперпендикулярно до осіОхна відстаніа/евід початку координат.
Зауваження. За іншого вибору системи координат еліпс може задаватися не канонічним рівнянням (11.1), а рівнянням другого ступеня іншого виду.
Еліпс має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії (головні осі еліпса) та центр симетрії (центр еліпса). Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, його головними осями є осі координат, а центром – початок координат. Оскільки довжини відрізків, утворених перетином еліпса з головними осями, дорівнюють 2аі2b(2a>2b), то головна вісь, що проходить через фокуси, називається великою віссю еліпса, а друга головна вісь - малою віссю.
Весь еліпс міститься всередині прямокутника
Ексцентриситет еліпсаea, а весь еліпс лежить у прямокутнику)
5) Відношення відстаніriвід точки еліпса до фокусуFiдо відстаніdiвід цієї точки до директриси, що відповідає фокусу, дорівнює ексцентриситету еліпса.
Відстань від точкиМ(х, у)до фокусів еліпса можна так:
Складемо рівняння директрис:
Визначення 11.5.Гіперболоюназивається безліч точок площини, для яких модуль різниці відстаней до двох фіксованих точокF1 іF2 цієї площини, званихфокусами, є величина постійна.
Виведемо канонічне рівняння гіперболи за аналогією з висновком рівняння еліпса, користуючись тими самими позначеннями.
r1-r2=2a, звідки Якщо позначитиb² =c² -a², звідси можна отримати
Визначення 11.6.Ексцентриситетомгіперболи називається величинае = с/а.
Визначення 11.7.ДиректрисаDiгіперболи, що відповідає фокусуFi, називається пряма, розташована в одній напівплощині зFiщодо осіОуперпендикулярно до осіОхна відстаніа / евід початку координат.
Гіпербол має дві осі симетрії (головні осі гіперболи) і центр симетрії (центр гіперболи). При цьому одназ цих осей перетинається з гіперболою у двох точках, званих вершинами гіперболи. Вона називається дійсною віссю гіперболи (вісьОхдля канонічного вибору координатної системи). Інша вісь не має спільних точок з гіперболою і називається її уявною віссю (у канонічних координатах – вісьОу). По обидва боки від неї розташовані права та ліва гілки гіперболи. Фокуси гіперболи розташовуються на її дійсній осі.
Гілки гіперболи мають дві асимптоти, що визначаються рівняннями
3) Поряд з гіперболою (11.3) можна розглянути так звану сполучену гіперболу, що визначається канонічним рівнянням
для якої змінюються місцями дійсна і уявна вісь із збереженням тих самих асимптот.
4) Ексцентриситет гіперболиe> 1.
5) Відношення відстаніriвід точки гіперболи до фокусуFiдо відстаніdiвід цієї точки до директриси, що відповідає фокусу, дорівнює ексцентриситету гіперболи.
Доказ можна провести так само, як і для еліпса.
Визначення 11.8.Параболоюназивається безліч точок площини, для яких відстань до деякої фіксованої точкиFцієї площини дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої. ТочкаFназиваєтьсяфокусомпараболи, а пряма - їїдиректрисою.
Для виведення рівняння параболи виберемо декартову
систему координат так, щоб її початком була середина
d M(x,y) перпендикуляраFD, опущеного з фокусу на директри-
r су, а координатні осі розташовувалися паралельно і
перпендикулярно до директриси. Нехай довжина відрізкаFD
D O F x дорівнюєр. Тоді з рівностіr=dвипливає, що
Алгебраїчними перетвореннями це рівняння можна привести до вигляду:y² = 2px, (11.4)
званомуканонічним рівнянням параболи. Розміррназиваєтьсяпараметромпараболи.
Парабола має вісь симетрії (вісь параболи). Точка перетину параболи з віссю називається вершиною параболи. Якщо парабола задана канонічним рівнянням, її віссю є вісьОх,а вершиною – початок координат.
Уся парабола розташована у правій напівплощині площиніОху.
Зауваження. Використовуючи властивості директоріс еліпса та гіперболи та визначення параболи, можна довести таке твердження:
Безліч точок площини, для яких відношенняевідстані до деякої фіксованої точки до відстані до деякої прямої є величина постійна, є еліпс (приe1) або параболу (прие= 1).