Відстань від фокусу до директриси буквою
§ 20. ПараболаПараболою називається геометричне місце точок, для кожної з яких відстань до деякої фіксованої точки площини, яка називається фокусом, дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої, званої директрисою. Фокус параболи позначається буквоюF,відстань від фокусу до директриси — буквоюр.Числорназивається параметром параболи.
Нехай дана деяка парабола. Введемо декартову прямокутну систему координат так, щоб вісь абсцис проходила через фокус даної параболи перпендикулярно до директриси і була спрямована від директриси до фокусу; Початок координат розташуємо посередині між фокусом і директрисою (чорт. 19). У цій системі координат дана парабола визначатиметься рівнянням
Рівняння (1) називається канонічним рівнянням параболи. У цій же системі координат директрису даної параболи має рівняння
х = -
Фокальний радіус довільної точкиМ(х; у)параболи (тобто довжина відрізкаFM)може бути обчислений за формулою
r = x +
Парабола має одну вісь симетрії, яка називається віссю параболи, з якою вона перетинається в єдиній точці. Точка перетину параболи
Чорт. 19. Чорт. 20.
з віссю називається її вершиною. При зазначеному вище виборі координатної системи вісь параболи поєднана з віссю абсцис, вершина знаходиться на початку координат, вся парабола лежить у правій напівплощині.
Чорт. 21. Чорт. 22.
Якщо координатна система обрана так, що вісь абсцис поєднана з віссю параболи, початок координат - з вершиною, але парабола лежить у лівій напівплощині (чорт. 20), то її рівняння матиме вигляд
У разі коли початок координат знаходиться у вершині, а з віссюпоєднана вісь ординат, парабола матиме рівняння
якщо вона лежить у верхній напівплощині (чорт. 21), та
- Якщо в нижній напівплощині (чорт. 22).
Кожне із рівнянь параболи (2), (3), (4), як і рівняння (1), називається канонічним.
583.Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться на початку координат, знаючи, що:
1) парабола розташована у правій напівплощині, симетрично щодо осіОх, та її параметрр= 3;
2) парабола розташована в лівій напівплощині, симетрично щодо осіОх, та її параметрр= 0,5;
3) парабола розташована у верхній напівплощині, симетрично щодо осіОу, та її параметрp=
4) парабола розташована в нижній напівплощині, симетрично щодо осіОу, та її параметрр=3.
584.Визначити величину параметра та розташування щодо координатних осей наступних парабол:
585.Скласти рівняння параболи, вершина якої знаходиться на початку координат, знаючи, що:
1) парабола симетрично розташована щодо осі Ох і проходить через точкуА(9; 6);
2) парабола симетрично розташована щодо осі Ох і проходить через точкуВ(—1; 3);
3) парабола симетрично розташована щодо осі Оу та проходить через точку С(1; 1);
4) парабола симетрично розташована щодо осі Оу і проходить через точкуD(4; - 8).
586.Сталевий трос підвішений за два кінці; точки кріплення розташовані на однаковій висоті; відстань між ними дорівнює 20м.Величина його прогину на відстані 2мвід точки кріплення, рахуючи по горизонталі, дорівнює 14,4см.Визначити величину прогину цього троса в серединіміж точками кріплення, приблизно вважаючи, що трос має форму дуги параболи.
587.Скласти рівняння параболи, яка має фокусF(0; -3) і проходить через початок координат, знаючи, що її віссю служить вісьОу.
588.Встановити, які лінії визначаються такими рівняннями:
1)у= + 2
4)у= - 2
7)х= -
Зобразити ці лінії на кресленні.
589.Знайти фокусFта рівняння директриси параболиу2 = 24х.
590.Обчислити фокальний радіус точкиМпараболиу2 = 20х, якщо абсцис точкиМдорівнює 7 .
591.Обчислити фокальний радіус точкиМпараболиу2 =12х, якщо ордината точкиМдорівнює 6 .
592.На параболіуа =16хзнайти точки, фокальний радіус яких дорівнює 13.
593.Скласти рівняння параболи, якщо дано фокусF(— 7;0) та рівняння директрисих—7 = 0.
594.Скласти рівняння параболи, знаючи, що її вершина збігається з точкою (а; 3), параметр дорівнюєр,вісь паралельна осіОхі парабола простягається в нескінченність:
1) у позитивному напрямку осіОх;
2) у негативному напрямку осіОх.
595. Скласти рівняння параболи, знаючи, що її вершина збігається з точкою (а; (3), параметр дорівнюєр,вісь паралельна осіОуі парабола простягається в нескінченність:
1) у позитивному напрямку осіОу(тобто парабола є висхідною);
2) у негативному напрямку осіОу(тобто парабола є низхідною).
596.Встановити, що кожне з наступних рівнянь визначає параболу і знайти координати її вершиниА,величину параметрарі рівняння директриси:
597.Встановити, що кожне з наступних рівнянь визначає параболу і знайти координати її вершиниАі величину параметрар:
1)y=
3)y= -
698.Встановити, що кожне з наступних рівнянь визначає параболу і знайти координати її вершиниАі величину параметрар:
1)х= 2у2 - 12у+ 14, 2)х= -
599.Встановити, які лінії визначаються такими рівняннями:
1)у= 3 - 4
3)х= 2 -
Зобразити ці лінії на кресленні.
600.Скласти рівняння параболи, якщо дані її фокусF(7;2) і директрисах- 5 = 0.
601.Скласти рівняння параболи, якщо дані її фокусF(4;3) і директрисау+ 1 = 0.
602.Скласти рівняння параболи, якщо дані її фокусF(2; —1) і директрисах — у —1 = 0.
603.Дана вершина параболи А (6; -3) та рівняння її директриси
Знайти фокус F цієї параболи.
604.Дана вершина параболиА(—2; —1) та рівняння її директриси
Скласти рівняння цієї параболи.
605.Визначити точки перетину прямоїх+у— 3 = 0, і параболих2 = 4у.
606.Визначити точки перетину прямої 3х+ 4у—12 = 0 і параболиу2 = — 9х.
607.Визначити точкиперетину прямої 3х- 2у+ 6 = 0 і параболиу2 = 6х.
608.У наступних випадках визначити, як розташована дана пряма щодо даної параболи — чи перетинає, стосується чи проходить поза нею:
609.Визначити, за яких значеннях кутового коефіцієнтаk
пряма у = Ах + 2:
1) перетинає параболу у 2 = 4х;
3) проходить поза цією параболою.
610.Вивести умову, за якої прямаy = kx + bстосується параболиу2 = 2рх.
611.Довести, що до параболиу2 = 2рхможна провести одну і лише одну дотичну з кутовим коефіцієнтомk ≠0.
613.Скласти рівняння прямої, яка стосується параболиу2 = 8хі паралельна до прямої
614.Скласти рівняння прямої, яка стосується параболих2 =16уі перпендикулярна до прямої
615.Провести дотичну до параболиу2 =12хпаралельно прямий
і обчислити відстаньdміж цією дотичною та даною прямою.
616. Напараболіу2 = 64хзнайти точкуМ1 найближчу до прямої
і обчислити відстаньdвід точкиМ1 до цієї прямої.
617.Скласти рівняння дотичних до параболиу2 =36х, проведених з точкиА(2; 9).
618. Кпараболіу2=2рхпроведена дотична. Довести, що вершина цієї параболи лежить посередині між точкою перетину дотичної з віссюОхі проекцією точки дотику на вісьОх.
619.З точкиА(5; 9) проведено дотичні до параболиy2 = 5х. Скласти рівняння хорди, що з'єднує точки торкання.
620.З точки Р(-3;12) проведено дотичні до параболиу2 =10х. Обчислити відстаньdвід точкиРдо хорди параболи, що з'єднує точки торкання.
621.Визначити точки перетину еліпса
622.Визначити точки перетину гіперболи
і параболиу2 = 3х.
623.Визначити точки перетину двох парабол:у = х2—2х+1, х = у2—6у+ 7.624.Довести, що пряма, що стосується параболи в певній точціМстановить рівні кути з фокальним радіусом точкиМі з променем, який, виходячи з М, йде паралельно осі параболи в той бік, куди парабола нескінченно простягається.
625. Зфокусу параболи
під гострим кутом а до осіОхспрямований промінь світла. Відомо, що 3 tgα =
рівняння прямої, де лежить відбитий промінь.
626.Довести, що дві параболи, що мають спільну вісь і загальний фокус, розташований між їхніми вершинами, перетинаються під прямим кутом.
627.Довести, що якщо дві параболи із взаємно перпендикулярними осями перетинаються в чотирьох точках, то ці точки лежать на одному колі.