ВІДВІДРАЖЕННЯ ПУАНКАРЕ
При математичному дослідженні динамічних систем відображенням називають тимчасову вибірку даних, для якої вводять позначення
У простому детермінованому відображенні величину можна знайти за значенням. Це часто записують у вигляді
У такому записі можна дізнатися різницеве рівняння. Поняття відображення узагальнюється і більше змінних. Так, може бути вектором М компонентами; , І тоді рівняння (2.2) буде системою з М рівнянь.
Припустимо, наприклад, що ми аналізуємо рух частинки, що відображається на фазовій площині. Ми вже знаємо, що якщо рух хаотичний, то траєкторія прагне заповнити деяку область фазового простору. Якщо, однак, замість того, щоб безперервно стежити за рухом, ми фіксуватимемо динамічні характеристики тільки в окремі моменти, то рух буде представлений послідовністю точок фазової площини (рис. 2.8). Якщо , то ця послідовність точок фазового простору є двовимірним відображенням.
Якщо моменти вибірки підкоряються певному правилу, що обговорюється нижче, це відображення називається Пуанкаре.
Відображення Пуанкаре для систем із вимушеними коливаннями. Коли є примушуючий рух з періодом Т, для отримання відображення Пуанкаре природно виділити вибірку з . Це дозволяє відрізнити періодичні рухи від неперіодичних.
Мал. 2.8. Схематична ілюстрація тимчасової еволюції точок Пуанкаре із вибірки цифрових вимірів.
Мал. 2.9. а - Відображення Пуанкаре на фазовій площині, що відповідає субгармонійному руху з періодом 3 поздовжньо вигнутого стрижня, що збуджується періодичним сигналом; б - хаотичний рух поблизу третьоїсубгармоніки.
Наприклад, якщо вибірку гармонійного руху, показаного на рис. 2.4 а, синхронізувати з його періодом, то «відображення» буде представлено двома точками на фазовій площині. Якщо ж, проте, відгук містив субгармоніку з періодом 3, то відображення Пуанкаре складалося б з трьох точок, показаних на рис. 2.9 а. (Користуючись жаргоном математичної теорії динаміки, кажуть, що відображення (2.3) з функціями f і g має три точки спокою.)
Ще одне нехаотичне відображення Пуанкаре показано на рис. 2.10 де рух являє собою коливання на двох несумірних частотах:
де - Ірраціональне число. Якщо робити вибірку з періодом, що відповідає одній із частот, то траєкторія стане безперервною замкненою фігурою або орбітою на фазовій площині. Такий рух іноді називають майже періодичним, або квазіперіодичним, або рухом на торі; воно не хаотично.
І нарешті, якщо відображення Пуанкаре не складається ні з кінцевої множини точок (див. рис. 2.9, а), ні із замкнутої орбіти (див. рис. 2.10), то відповідний рух може бути хаотичним (рис. 2.11). На цьому етапі слід провести межу між системами із загасанням і без нього. У системах без загасання або зі слабким згасанням відображення Пуанкаре хаотичних рухів часто мають вигляд невпорядкованого скупчення точок на фазовій площині (рис. 2.11 а).
Мал. 2.10. Відображення Пуанкаре на фазовій площині, що відповідає кваеіперіодичному руху стрижня, що збуджується періодичним сигналом з двома ступенями свободи, який коливається в парі потенційних ям, створюваних магнітними силамн.
Такі рухи іноді називають стохастичними (див., наприклад, [110]). У системах із загасанням відображення Пуанкареіноді являють собою нескінченні строго впорядковані множини точок, що концентруються на зразок паралельних ліній, як це показано на рис. 2.11 б, ст. При чисельному моделюванні можна збільшити частину відображення Пуанкаре (рис. 2.12) та виявити тоншу структуру. Якщо така структура безлічі точок зберігається після кількох збільшення, то кажуть, що рух поводиться як дивний атрактор. Безліч із подібним вкладенням однієї структури в іншу часто називають канторівськими множинами (див. гл. 6).
Поява у відображенні Пуанкаре, що відображає тимчасову еволюцію коливань, структур, подібних до канторівської множини, є сильним індикатором хаотичних рухів.
Мал. 2.12. Відображення Пуанкаре для хаотичних коливань нелінійного осцилятора, що збуджується, що зберігає автомодельну структуру все менших і менших масштабів.
Класи структур, які у відображеннях Пуанкаре, перераховані в табл. 2.2.
Таблиця 2.2. Класифікація відображень Пуанкаре
Мал. 2.13. Приклади самозбуджуваних коливань: а - перебіг рідини над пружною пластиною; б - перебіг газу над поверхнею рідини.
Відображення Пуанкаре для автономних систем. Стаціонарні коливання можуть збуджуватися без періодичних або випадкових впливів також і в тому випадку, якщо рух породжується динамічною нестійкістю, як, наприклад, індуковані вітровим потоком коливання пружної структури (рис. 2.13) або конвективний рух рідини або газу (наприклад, конвек), що створюється градієнтом температури - Див. Рис. 1.23). В електричних системах або системах управління зі зворотним зв'язком коливання, що самозбуджуються, можуть виникати завдяки елементам з негативнимопором чи негативного зворотного зв'язку. Тоді виникає питання про те, в які моменти часу слід проводити вимірювання, щоб отримати відображення Пуанкаре. Обговорення цього питання ми проведемо дещо абстрактнішою мовою.
Розглянемо хаотичну систему найнижчого порядку, що описується трьома диференціальними рівняннями першого порядку (наприклад, рівняння Лоренца з гол. 1). У випадку електромеханічної системи змінні х(t), можуть мати сенс усунення, швидкості та керуючої сили, якщо це система управління зі зворотним зв'язком. Рух можна подати у вигляді траєкторії у тривимірному фазовому просторі (рис. 2.14). Відображення Пуанкаре можна визначити, побудувавши в цьому просторі двовимірну орієнтовану поверхню і стежачи за точками, в яких траєкторія проходить крізь цю поверхню. Виберемо, наприклад, площину із нормальним вектором
Мал. 2.14. Схематичне зображення траєкторій системи рівнянь третього порядку та типова площина Пуанкаре.
Як окремий випадок можна вибрати площину х = 0. Тоді відображення Пуанкаре складається з тих точок площини, через які траєкторія проходить в тому самому напрямку, тобто якщо — одиничний вектор, що стосується траєкторії, то скалярний твір завжди повинен мати один і той самий знак.
Визначення відображення Пуанкаре поширюється і випадок, коли систему діє періодична зовнішня сила. Як приклад розглянемо вимушені нелінійні коливання, що описуються рівняннями руху:
Цю систему можна привести до автономного вигляду, вводячи визначення
Тепер можна вибрати ті моменти вибірки, при яких z = 0. У цієї системи фазовий простір маєциліндричну форму з обмеженими значеннями z: . Побудова відображення Пуанкаре показано на рис. 2.15.
Мал. 2.15. Схематичне зображення дивного атрактора для вимушених коливань нелінійного осцилятора — «твор» площини Пуанкаре і фази сигналу, що збуджує.
Зведення динамічних моделей до одновимірних відображень. У гол. 1 ми переконалися, що прості одновимірні відображення або різницеві рівняння виду можуть містити біфуркації подвоєння періоду та хаос, якщо функція має хоча б один максимум (або мінімум), як показано на рис. 1.19. Явлення подвоєння періоду спостерігалися у багатьох різноманітних складних фізичних системах (рідинах, лазерах, електронних переходах); і часто динаміка цих систем добре описується одновимірними відображеннями. Така можливість особливо й у систем із істотним згасанням. Щоб перевірити цю можливість, слід зробити вибірку будь-якої динамічної змінної за допомогою перерізу Пуанкаре, що обговорювалося вище, скажімо, потім можна побудувати залежність кожного від наступного значення . Щоб було оголосити систему хаотичної, необхідно виконання двох критеріїв. По-перше, точки на графіку з відкладеними по осях величинами повинні групуватися, створюючи певну функціональну залежність; по-друге, ця функція має бути немонотонною, тобто мати максимум або мінімум. Якщо ці вимоги виконані, слід підібрати поліноміальну апроксимацію отриманих точок і використовувати знайдене відображення для подальших чисельних експериментів або аналізу, подібного аналізу квадратичного відображення (гл. 1 і 5).
Прикладами використання цієї методики є дослідження крана, що протікає [171] і експеримент з варикапним діодом в електричному ланцюгу [162] (див. такожобговорення цих завдань у гол. 3). У гол. 4 ми продовжимо обговорення цієї методики.