Вія з матрицями множення на число, додавання, віднімання, множення матриць
Складання матриць:
Віднімання та складання матрицьзводиться до відповідних операцій над їх елементами.Операція складання матрицьвводиться тільки дляматрицьоднакового розміру, тобто дляматриць, у яких число рядків і стовпців відповідно дорівнює.Сумою матрицьА і В, називаєтьсяматрицяС, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів. С = А + В cij = aij + bij Аналогічно визначається різниця матриць .
Умноження матриці на число:
Операція множення (розподілу) матрицібудь-якого розміру на довільне число зводиться до множення (розподілу) кожного елементаматриціна це число.Твором матриціА на число k називаєтьсяматриця, така що
bij = k × aij. В = k × A bij = k × aij.Матриця- А = (-1) × А називається протилежноюматриціА.
Властивості складання матриць та множення матриці на число:
Операції складання матрицьімноження матриціна число мають наступні властивості: 1. А + В = В + А; 2. А+(В+С) = (А+В)+С; 3. А + 0 = А; 4. А – А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; де А, В і С - матриці, α і β - числа.
Умноження матриць (Твір матриць):
Операція множення двох матрицьвводиться тільки для випадку, коли число стовпців першоїматрицідорівнює числу рядків другоїматриці.Твором матриціАm×n наматрицюВn×p, називаєтьсяматрицяСm×p така, що сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + . + ain × bnk, тобто перебувати суматворів елементів i - ого рядкаматриціА на відповідні елементи j - ого стовпцяматриціВ. ЯкщоматриціА і квадратні одного розміру, то твори АВ і ВА завжди існують. Легко показати, що А × Е = Е × А = А, де квадратнаматриця, Е - одиничнаматрицятого ж розміру.
Властивості множення матриць:
Умноження матрицьне комутативно, тобто. АВ ≠ ВА навіть якщо визначено обидва твори. Однак, якщо для будь-якихматрицьспіввідношення АВ=ВА виконується, то такі матриці називаються перестановочними. Найхарактернішим прикладом може бути одиничнаматриця, яка є перестановочной з будь-який іншийматрицейтого самого розміру. Перестановочними можуть бути тільки квадратні матриці одного і того ж порядку. А × Е = Е × А = А
Умноження матрицьмає наступні властивості: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + З) = АВ + АС; 3. (А + В) С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ) Т = В Т А Т; 7. (АВС) Т = С Т В Т А Т; 8. (А + В) Т = А Т + В Т;