Визначення ймовірності подій - Математика
КОНТРОЛЬНА РОБОТА № 11
1. Монета підкинута тричі. Знайти ймовірність того, що герб з'явиться двічі
Застосовуючи класичне визначення ймовірності, знаходимо:
- загальна кількість подій (Г, Г, Г), (ГГЦ), (Г, Ц, Г), (Г, Ц, Ц), (Ц, Г, Г), (ЦГЦ), (Ц, Ц, Ц) ), тобто. n=8.
Події А (герб з'являється двічі) відповідають три випадки - (Г, Г, Ц), (Г, Ц, Г) та (Ц, Г, Г), m=3
2. З 10 радіоламп 4 несправні. Випадково взято 4 лампи. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться хоча б одна несправна
Подія А — хоча одна лампа несправна.
Чотири деталі з десяти можна вибрати способами (кількість поєднань з 10 елементів по 4).
.
Випадок - настала подія А1:
Три несправні лампи з шести можна вибрати у різний спосіб, а одну з чотирьох несправних — .
Кожен набір справних ламп може поєднуватися з кожним набором несправних, тому кількість сприятливих подій отримуємо:
Для подій А2 дві справних лампи з 6 - способів дві несправних з ,
3. З урни, що містить 4 білих, 6 червоних і 5 чорних куль випадково витягли 3 кулі. Знайти ймовірність того, що два з них одного кольору
Позначимо подію, що шукається через А (дві кулі одного кольору).
Маємо 4 білих та 11 куль не білих.
Для події А1 кількість подій, що з чотирьох білих у вибірці будуть два білих — , кількість подій — з 11 — одна куля — тоді число сприятливих подій.
Маємо 6 червоних, 9 – інших кольорів.
З 6 червоних – 2 червоних – подій.
З 9 інших кольорів – 1 – подій, а загальна кількість сприятливих подій –
Маємо 5 чорних куль та 10 інших.
З 5 чорних – 2 – подій.
З 10 інших – 1 – подій. Загальна кількість сприятливих подій
4. У ящику 5 м'ячів, з яких три – нові. Для гри взяли два м'ячі, після гри повернувши їх у ящик. Для другої гри випадково взяли ще два м'ячі. Знайти ймовірність того, що вони обидва нові
Тут маємо дві незалежні події. Застосовуємо формулу множення ймовірностей
Для того, щоб ймовірність події шуканого (А) не дорівнювала нулю в ящику після настання події В (взяли перший раз два м'ячі) повинно залишитися або три, або два м'ячі нових.
Позначимо через В1 - взяли два м'ячі уживаних.
Число варіантів, що з двох м'ячів взяли два одно.
Число варіантів, що з трьох м'ячів не взяли жодного рівно
Загальна кількість сприятливих подій
.
Загальна кількість подій -.
Для події А обчислимо ймовірність настання за умови настання події.
Маємо в ящику 5 куль, з них три нові, тоді кількість сприятливих подій складатиметься із суми:
1) З 2-х старих м'ячів у вибірці не виявилося жодного -.
2) З 3-х нових м'ячів у вибірці 2 нових -.
Загальна кількість сприятливих подій:
Позначимо через В2 - (взяли вперше один новий м'яч і один старий).
Число подій - з трьох м'ячів взяли один одно -, число варіантів - з двох м'ячів взяли один рівно -, загальна кількість сприятливих варіантів дорівнює -.
Маємо три старі та два нові м'ячі. Кількість сприятливих подій:
— із трьох старих — жодного —
— із двох нових — два — буде одно
Ймовірність.
Імовірність настання події А дорівнюватиме:
5. Пасажир може чекати на льотну погоду три доби, після чого їде поїздом. За прогнозами ймовірністьльотної погоди в першу добу 0,5, у другу - 0,6, в третю - 0,8, Х - кількість повної доби до від'їзду пасажира.
а) ряд розподілу Х.
Імовірність те, що пасажир нічого очікувати дорівнює ймовірності літньої погоди у першу добу, тобто. Р(0) = 0,5.
Імовірність, що пасажир відлетить через добу дорівнює ймовірності того, що в першу добу буде нелітна погода, а в другій — льотна, тобто літня.
.
Імовірність того, що пасажир відлетить через дві доби дорівнює ймовірності трьох незалежних подій: перша доба – нелітна погода; другі - нельотна; третя - льотна
Імовірність того, що пасажир поїде поїздом через три доби дорівнює ймовірності того, що всі три доби погода нельотна
б) функцію розподілу F(x).
Функцію F(x) будуємо за допомогою формули:
В) m x шукаємо за формулою:
Г) D x застосовуємо формулу:
тобто. дисперсія дорівнює математичному очікуванню квадрата її відхилення:
Д) У цьому проміжку x набуває лише одне значення x=2, отже:
6. Дана функція розподілу випадкової величини
З умови безперервності F(x) випливає
Б) р(x), за визначенням, т.к. F'(x) при дорівнює (0)'=0, при
У) m x. Математичне опис безперервної випадкової величини, всі значення якої належать проміжку [α, β] визначається формулою:
г) D x. Дисперсія безперервної випадкової величини X із щільністю розподілу p(x) визначається формулою:
Д). Знаходимо за формулою
7. Виріб вважається вищого ґатунку, якщо відхилення його розміру від номіналу не перевищує за модулем 3,45 мм. Випадкові відхилення X розподілені нормально, причому .
Визначити ймовірність того, щовипадково взятий виріб - вищого гатунку
Імовірність того, що відхилення випадкової величини X, розподіленої за нормальним законом, від математичного очікування, не перевершить за абсолютною величиною Δ дорівнює: