Властивості та способи пошуку коренів квадратного рівняння

Світ влаштований так, що розв'язання великої кількості завдань зводиться до знаходження коріння квадратного рівняння. Коріння рівнянь мають значення для опису різних закономірностей. Це було відомо ще землемірам стародавнього Вавилону. Астрономи та інженери теж були змушені вирішувати такі завдання. Ще VI столітті нашої ери індійський вчений Аріабхата розробив основи знаходження коренів квадратного рівняння. Формули набули закінченого вигляду в XIX столітті.

Загальні поняття

Пропонуємо ознайомитись із основними закономірностями квадратичних рівностей. У загальному вигляді рівність може бути записана так:

Число коренів квадратного рівняння може дорівнювати одному або двом. Швидкий аналіз можна провести, використовуючи поняття дискримінант:

Залежно від обчисленого значення отримуємо:

При D> 0 існують два різні корені. Формула у загальному вигляді визначення коренів квадратного рівняння виглядає як (-b± √D) / (2a).
D = 0, у цьому випадку корінь один і відповідає значенню x = -b/(2a)
D 2 + bx = -c

Праву та ліву частини множимо на 4a і додаємо b 2 , отримуємо

4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = -4ac+b 2

Перетворимо ліву частину як квадрата многочлена (2ax + b) 2 . Виймаємо квадратний корінь з обох частин рівняння 2ax + b= -b ± √(-4ac + b 2 ), переносимо коефіцієнт b у праву частину, отримаємо:

2ax = -b ± √(-4ac + b 2 )

Що й потрібно було показати.

Окремий випадок

У деяких випадках вирішення завдання може спроститись. Так, при парному коефіцієнті отримаємо більш просту формулу.

Позначимо k = 1/2b, тоді формула загального виду коренів квадратного рівняння набуває вигляду:

x = (-k ± √(k 2 - ac)) / a

При D = 0, отримуємо x = -k/a

Іншимокремим випадком буде розв'язання рівняння при a = 1.

Для виду x 2 + bx + c = 0 коріння буде x = -k ± √(k 2 - c) при дискримінанті більше 0. Для випадку, коли D = 0, корінь визначатиметься простою формулою: x = -k.

Використання графіків

Примітка: крива, побудована на основі квадратичної функції, отримала назву параболи.

Наведемо кілька прикладів.

При розрахунку траєкторії польоту снаряда використовують властивість руху параболем тіла, випущеного під кутом до горизонту.
Властивість параболи рівномірно розподіляти навантаження широко використовується в архітектурі.

Розуміючи всю важливість параболічної функції, розберемося, як за допомогою графіка досліджувати її властивості, використовуючи поняття "дискримінант" та "коріння квадратного рівняння".

Залежно від величини коефіцієнтів a і b існує всього шість варіантів положення кривої:

Дискримінант позитивний, a та b мають різні знаки. Гілки параболи дивляться нагору, у квадратичного рівняння два рішення.
Дискримінант і коефіцієнт b дорівнюють нулю, коефіцієнт a більший за нуль. Графік розташований у позитивній зоні, рівняння має 1 корінь.
Дискримінант та всі коефіцієнти мають позитивні значення. У квадратичного рівняння немає рішення.
Дискримінант та коефіцієнт а – негативні, b – більше нуля. Гілки графіка спрямовані вниз, у рівняння два корені.
Дискримінант та коефіцієнт b дорівнюють нулю, коефіцієнт a – негативний. Парабола дивиться вниз, у рівняння один корінь.
Значення дискримінанта та всіх коефіцієнтів – негативні. Рішень немає, значення функції повністю у негативній зоні.

Примітка: варіант a = 0 не розглядається, тому що в цьому випадку параболавироджується у пряму.

Все сказане добре ілюструє малюнок, наведений нижче.

Приклади розв'язання задач

Умова: використовуючи загальні властивості, складіть квадратне рівняння, коріння якого дорівнює між собою.

за умовою задачі x1 = x2, або -b + √(b 2 - 4ac) / (2a) = -b + √(b 2 - 4ac) / (2a). Спрощуємо запис:

-b + √(b 2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b 2 - 4ac) / (2a)) = 0, розкриваємо дужки та наводимо подібні члени. Рівняння набуває вигляду 2√(b 2 - 4ac) = 0. Це твердження вірне, коли b 2 - 4ac = 0, звідси b 2 = 4ac, тоді значення b = 2√(ac) підставляємо до рівняння

ax 2 + 2√(ac)x + c = 0, у наведеному вигляді одержуємо x 2 + 2√(c / a)x + c = 0.

при a не рівному 0 і будь-якому c існує лише одне рішення, якщо b = 2√(c/a).

Квадратні рівняння при всій своїй простоті мають велике значення в інженерних розрахунках. Практично будь-який фізичний процес можна описати з деяким наближенням, використовуючи статечні функції порядку n. Квадратне рівняння буде першим таким наближенням.