Властивості, відносини та предикати
Властивості речей реального світу є результатом взаємодії їх з іншими речами, бо без цього вони не могли б проявитися і ми не могли б судити про них. Насправді, ми говоримо, наприклад, що алмаз є найтвердішим мінералом, а графіт – м'яким тому, що вони різняться за якістю твердості та пластичності.
У традиційній логіці властивість відображається в судженніпредикатом,а річ, якій належить ця властивість, –суб'єктом.Слід, однак, розрізняти суб'єкт і предикат в граматиці і логіці, подібно до того як ми розрізняємо пропозицію і судження (висловлювання) Судження, що мають суб'єктно-предикатну структуру, відображають зв'язки між речами, подіями і явищами, що часто зустрічаються в дійсному світі, з одного боку, і їх властивостями і ознаками, з іншого. Саме ці зв'язки стали предметом вивчення традиційної логіки. Хоча різні види відносин, такі, як "більше", "менше", "вище", "нижче", "далі", "ближче" і т.п., не кажучи вже про відносини спорідненості зустрічаються часто, але традиційна логіка або зовсім не цікавилася логічним аналізом відносин, або намагалася звести їх до суб'єктно-предикатної структури.
Вперше вивченням логіки відносин зайнялися математики, та її основоположником вважається англійський математик та логік О. де Морган. Інтерес до цієї логіки з боку математиків зовсім не випадковий, оскільки саме в цій науці зустрічаються найрізноманітніші відносини (рівності, нерівності, подоби, між, включення, конгруентності, паралельності тощо). Такі відносини представлені у формулюванні аксіом різних математичних дисциплін, і тому для доказу теорем необхідні точні визначення тихлогічних операцій, які можна провадити над відносинами.
З логічного погляду відносини можна як узагальнення звичайного предикату традиційної логіки, що виражає властивості предметів. Якщо цей предикат характеризує один-єдиний предмет чи, як ми говоритимемо надалі, об'єкт, то логіці відносин він визначає відношення між різними об'єктами. Так, коли ми говоримо, що число 5 більше, ніж 3, то цим встановлюємо між ними відношення "більше" за величиною.
Відношення між двома об'єктами називаютьбінарним,(двученим), між трьома -тернарнимі т.д. Об'єкти, що заповнюють ці місця, характеризують відповідний предикат.
Символічно це видається так:
Р (x 1, x 2. х n),
деРозначає предикат, a x 1 , х 2 . х n – відповідні об'єкти. Якщоп= 0, тоді предикат буде нерозчленованим висловом, яке розглядалося у попередньому розділі, прип= 1 предикат представляє властивість, приn= 2 – бінарне відношення , Прип =3 - тернарне відношення і т.д.
З логіко-математичної точки зору предикат можна розглядати якпропозиціональнуфункцію. На відміну від математичних функцій, де аргументами є числа та інші математичні об'єкти, в пропозициональной функції аргументами є лише висловлювання. Якщо такий предикат виражає властивість, наприклад "бути студентом", то, підставивши замість аргументухпрізвища різних осіб, ми отримаємо різні висловлювання, істинні та хибні, тобто, якщо Іванов справді студент, то він буде задовольняти функціїР(х),деРозначає властивість "бути студентом". Аналогічно, якщоЧ(х)означає властивість "бути парним числом", то число 4задовольняє цю функцію, а число 5 – ні. Зверніть увагу, що в цьому випадку замість звичайних чисел аргументами є висловлювання про числа.
ПредикатР(х,у)є пропозициональной функцією від двох аргументів і виражає бінарне відношення між двома об'єктами, наприклад "Москва на південь, ніж С.-Петербург". У разі предикатРпозначає ставлення " бути південніше " . Якщо замість "Москви" взяти "Мурманськ", то вийде хибне висловлювання. Звідси стає ясно, що предикат або функція пропозиції самі по собі не є висловлюваннями, і тому не можуть вважатися ні істинними ні хибними. Вони стають істинними чи хибними висловлюваннями після того, як замість їхніх аргументів підставляються конкретні висловлювання. Такий функціональний підхід до предикатів дає можливість поводитися з ними як із спеціальними видами функцій, аргументами яких є не математичні, а логічні об'єкти, а саме висловлювання.
Існує два принципово відмінних способу завдання універсуму міркування, перший з яких полягає в систематичному перерахуванні всіх тих об'єктів, які складають клас об'єктів, що характеризуються цією властивістю або ставленням. Очевидно, що такий універсум має бути кінцевою множиною. Однак у науковому пізнанні доводиться мати справу не лише з кінцевими, але й нескінченними множинами об'єктів. Наприклад, в математиці вже натуральний ряд чисел є нескінченним безліччю, оскільки до будь-якого, скільки завгодно великому натуральному числу можна додати одиницю і цим необмежено продовжувати цей процес. При формулюванні наукових законів також часто доводиться звертатися до безлічі об'єктів. Так, у законі всесвітнього тяжіння Ньютона стверджується, що два будь-які тіла притягуються один до одного.другові з гравітаційною силою, прямо пропорційною добутку їх мас і обернено пропорційною квадрату відстані між ними. При цьому передбачається, що кількість таких тіл у Всесвіті дуже багато. Очевидно, що оскільки нескінченну множину не можна задати за допомогою кінцевого списку його елементів, то приходиться для цього звертатися до деякого загального правила або закону утворення елементів. Наприклад, знаючи, що парними називаються числа, що діляться на 2, завжди можна визначити, чи є число, що розглядається, парним або непарним.
Хоча в принципі, якщо властивість або ставлення сформульовані досить чітко і чітко, встановити універсум можна, але на практиці зробити це буває важко через невизначеність критеріїв розмежування безлічі об'єктів. Часом буває, наприклад, нелегко відповісти на питання, чи належить даний об'єкт до безлічі рослин або тварин, металів або металоїдів, стійких або нестійких систем, коли йдеться про перехідні, проміжні явища.
Але в більшості випадків за наявності предикату, що виражає властивість або відношення, можна завжди встановити його універсум, або, як вважають за краще говорити математики, область значень змінних пропозиціональної функції, яку називаютьобластю визначення функції.Якщо ця область точно не встановлена, то пропозициональная функція при підстановці місце аргументів конкретних об'єктів перетворюється на безглузду фразу, а чи не осмислене висловлювання – справжнє чи хибне. Нерідко буває так, що функція виявляється невизначеною у певній галузі значень. Наприклад, у математиці кажуть, що рівняннях 2 +1=0 не визначено в ділянці дійсних чисел, бо має уявний корінь. Щоб гарантувати точність міркувань, у математиціі логіці ясно і однозначно визначають ту предметну область, до якої належать змінні пропозиціональних функцій або предикатів.
У найпростішому обчисленні предикатів, яке називають такожвузькимабообчисленням предикатів першого ступеня,як значення змінних розглядатимуться індивіди або об'єкти. Але можна як значення змінних брати також предикати, пов'язані кванторами. Таке обчислення називаютьобчисленням предикатів другого ступеня.Подальші узагальнення призводять до обчислення предикатів вищих ступенів.
Так само, як і в обчисленні висловлювань, ми припускатимемо, що висловлюванняР(х,у),одержуване при будь-якій парі значень з області її значень, може бути істинним, або хибним. Інакше кажучи, у обчисленні предикатів, як й у обчисленні висловлювань, виконується закон виключеного третього. Але при цьому, як ми побачимо надалі, сама процедура набуття значення істинності складного висловлювання, що складається з елементарних висловлювань, значно ускладнюється: адже в такому випадку з ним доводиться співвідносити не один, а пару, трійку або взагалі п- ку об'єктів в області значень змінних.