Введення у вейвлет-аналіз

Мультивейвлети

Мультивейвлети(multiwavelets)- це векторнозначне узагальнення вейвлетів. Вони призначені для розкладання багатоканальних сигналів, що мають не одну, а кілька компонентів. Втім, до такого виду можна привести і скалярний сигнал (переходом до парних та непарних компонентів, наприклад).

Мультивейвлети визначаються такими ж (зовні!) рівняннями рескейлінгу, як і звичайні вейвлети.

Їх привабливість тому, що вони:

Як і звичайні вейвлети, породжують МА.
Сильніше локалізовані у просторі, що може бути зручно у низці завдань (наприклад, у матфізиці).
Допускають швидкий алгоритм перетворення (алгоритм Малла з матричними коефіцієнтами дослівно переноситься на цей випадок)

Однак побудувати мультивейлети виявилося складніше, ніж звичайні вейвлети. Річ у тім, що рівняння скейлінгу мають матричні коефіцієнти, які комутують між собою. Тому знайти відповідний набір коефіцієнтів, що дає гладкі рішення рівняння рескейлінг, досить складно. Перший приклад ортогональних та безперервних мультивейвлетів отримано Джеронімо, Хардіном та Массопустом (Geronimo, Hardin, Massopust – GHM). Скейлінг-функції та вейвлети в їх прикладі були кусково-самоподібними, і приклад був побудований з використанням методів з теорії ІФС (ітераційних функціональних систем), що породжують, взагалі кажучи, фрактальні функції. GHM-мультивейвлети та скейлінг-функції показані на рисунках 1 та 2: Малюнок 1. Скейлінг – функції GHM. Малюнок2. Мультивейвлети GHM.

Коефіцієнти рівнянь рескейлінгу такі:

Фільтри, пов'язані з цими функціями, погано локалізовані за частотою, проте їх властивості можна покращити простою передобробкою сигналу. ЗовсімНещодавно Geronimo, Donovan, Hardin отримали нове сімейство ортогональних мультивйвлетів, які є сплайнами з безперервною похідною. Ця конструкція теж досить складна, і використовує ортогональні багаточлени. Рівняння рескейлінг містять всього 4 коефіцієнти, але вони є матрицями (у порядку зростання гладкості вейвлетів) 4 - 10 порядків. Тобто, в останньому випадку є 10 скейлінгів функцій і 10 вейвлетів, що породжують відповідні простори в МА.