Закон Максвелла про розподіл молекул за швидкостями, Фізика для студентів, Студенту, Статті та
У газі, що у стані рівноваги, встановлюється стаціонарний розподіл молекул за швидкостями, підпорядковується певному статистичного закону. Цей закон було виведено теоретично Дж. Максвеллом. Максвелл припускав, що речовина складається з дуже великої кількості тотожних молекул, що перебувають у стані безладного теплового руху за однакової температури. Також передбачалося, що силові поля на газ не діють.
Закон Максвелла описується деякою функцією f(v), яка називається функцією розподілу молекул за модулями швидкостей. Якщо розбити діапазон швидкостей молекул на малі інтервали, рівні dv, то кожен інтервал швидкості буде припадати деяке число молекул dN(v), швидкості яких у цьому інтервалі.
Функція f(v) визначає відносне число молекул dN(v)/N, швидкості яких лежать в інтервалі від v до v+dv, тобто:
Застосовуючи методи теорії ймовірностей, Дж. Максвелл знайшов вигляд функції розподілу молекул ідеального газу за модулями швидкостей хаотичного руху:
З (29) випливає, що конкретне розподіл залежить від роду газу (від маси молекули) і його термодинамічної температури. Вочевидь, що функція розподілу залежить від тиску, ні від обсягу газу. Графік функції розподілу має вигляд, показаний на рис. 5.
Вираз dN(v)/N=f(v)dv є ймовірністю зустріти молекулу зі швидкістю, що належить інтервалу (v;v+dv). Ця ймовірність дорівнює площі заштрихованої смужки з основою dv (рис. 5). Відносна частка молекул, що мають певну швидкість, дорівнює нулю.
Площа під кривою f(v) дорівнює ймовірності достовірної події - зустріти молекулу зі швидкістю, що належить інтервалу (0; ∞), тобто дорівнює одиниці. Це означає, щофункція задовольняє умову нормування:
Найбільш ймовірна vв, середня арифметична та середньоквадратична швидкості молекул.
Найбільш ймовірна швидкість відповідає максимуму функції розподілу, адже саме ця швидкість матиме найбільше число молекул. Її значення знайдеться з умови екстремуму функції f(v):
Звідси видно, що зі збільшенням температури T максимум кривої розподілу зміститься вправо, оскільки зі збільшенням T збільшується vв, що визначає положення максимуму. Але площа під кривою має залишатися постійною. Тому величина максимуму зменшуватиметься. Вплив маси молекули m0 буде зворотним. Вплив температури та маси молекули на вигляд функції розподілу показано на рис. 6.
Вираз для середньої швидкості визначається за такою формулою:
Аналогічно знайдемо вираз для середньоквадратичної швидкості:
Зробивши інтегрування, отримаємо:
З порівняння знайдених швидкостей випливає:
Співвідношення між швидкостями:
При кімнатній температурі T=300K середня арифметична швидкість молекул кисню дорівнюватиме:
Перше експериментальне визначення швидкостей молекул було здійснено Штерном в 1920: підтвердилася правильність оцінки середньої швидкості молекул, що випливає з розподілу Максвелла; про характері розподілу цей досвід дав лише наближені відомості. Більш точно закон Максвелла був перевірений у досвіді Ламмерта (1929).
З функції розподілу молекул за модулями швидкостей можна отримати функцію розподілу молекул з кінетичних енергій теплового руху:
Знайдемо середню кінетичну енергію молекули ідеального газу: