ЗАКОН РОЗПОДІЛУ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ
Отже, ми приходимо до завдання: як знайти ймовірність, що при наступному випробуванні випадкова величина потрапить у заданий інтервал?
Для відповіді це питання, передусім треба запровадити поняття закону розподілу випадкової величини.
Закон розподілу випадкової величини (ЗРСВ) – це спосіб розрахувати ймовірність того, що випадкова величина (СВ) набуде того чи іншого значення (для дискретних випадкових величин) або потрапить у той чи інший інтервал (для безперервних випадкових величин) в результаті випробування.
Для дискретних СВ це найчастіше таблиця. Наприклад, для правильної гральної кістки ця таблиця виглядатиме так:
Випадання 1, 2, 3, 4, 5, або 6 рівноймовірне і дорівнює одній шостій.
Для безперервної випадкової величини ЗРСВ може бути заданий або у вигляді графіка або у вигляді формули. Найбільше значення математичної статистики має нормальний закон розподілу випадкової величини чи закон Гаусса.
Це пов'язано з тим, що дуже багато СВ розподілено саме за цим законом, у тому числі й у біології та медицині.
Отже, для обчислення ймовірностей нам потрібний закон Гауса. Розглянемо цей закон.
Поставимо завдання точніше. Нехай у нас є деяка безперервна випадкова величина Х і ми хочемо дізнатися, яка ймовірність, що при наступному випробуванні ця величина набуде значення хi, що лежать у маленькому інтервалі від х до х+dx (тут dx – диференціал х). Тоді ймовірність P(xi), що при наступному випробуванні це станеться, за законом Гауса буде рівна:
(1)
Формула (1) дозволяє розрахувати ймовірність попадання наступного виміру в нескінченно невеликий інтервал dx. Але на практиці нам треба навчитися розраховувати можливість попадання в реальні інтервали, наприклад в інтервал відх = а до х = b. Це можна зробити за допомогою формули (2):
(2)
Оскільки інтервал (а,b) ми задаємо самі, отже, для розрахунку ймовірності того, що результат наступного випробування потрапить у цей інтервал нам треба знати лише два числа: μ -математичне очікування та σ -середнє квадратичне відхилення.
Таким чином, оцінка цих двох чисел є одним із основних завдань математичної статистики.
Отже, щоб вирішити головне завдання, яке, як ми знаємо, полягає в тому, щоб навчитися розраховувати ймовірність попадання випадкової величини в той чи інший наперед заданий інтервал, нам треба навчитися розраховувати ці два числа. Ось тут на нас чекає невдача, оскільки точно розрахувати ці два числа виявилося неможливим! Виявилося, що для того, щоб точно отримати ці два числа, наприклад, для випадкової величини «зростання», треба виміряти зростання у всіх людей у світі! Зрозуміло, що ми цього не можемо зробити. Що ж нам лишається? А залишається нам виміряти зростання у тих людей, до яких ми можемо дістатися, і за отриманими значеннями ОЦІНИТИ значення μ і σ. Підкреслю: не отримати точні значення, а лише оцінити, чому вони приблизно рівні. Ось ці оцінки, які називаються вибірковим арифметичним середнім ( ) та оцінкою середньоквадратичного відхилення (s) і є найпершою метою більшості статистичних досліджень.
У нашому розгляді зненацька з'явилося слово «вибіркова». Спробуймо пояснити, що воно означає. Для цього введемо таке визначення:
Сукупність об'єктів, з якої відбирається деяка частина її членів для вивчення, називається генеральною, а відібрана тим чи іншим способом частина генеральної сукупності називається вибірковою сукупністю чи вибіркою.
У разі зростанняГенеральною сукупністю є зростання всіх людей, тоді як ті люди, у яких ми змогли виміряти зростання, називаються вибіркою із цієї сукупності. Очевидно, що це визначення є справедливим для будь-якої випадкової величини.
РОЗРАХУНОК І S.
Розрахунок цих двох величин дуже простий і задається такими двома формулами:
Щоб пояснити формули (3) і (4), уявімо, що ми вимірювали зростання у 50 осіб. Це означає, що n=50. Далі складаємо всі 50 отриманих чисел і отриманий результат ділимо на 50. Отримуємо значення середнього арифметичного. Це все розрахунки за формулою (3). Розрахунки за формулою (4) дещо складніші. Спочатку від усіх отриманих в результаті вимірювань 50 чисел забираємо раніше отриману оцінку середнього. Отримуємо 50 значень різниці. Потім всі 50 різниць зводимо в квадрат, після чого їх складаємо. Отриманий результат поділяємо на 49 (n-1). З того, що вийшло, витягаємо квадратний корінь. Розрахунки середнього арифметичного та оцінки середньоквадратичного відхилення закінчені.
Тепер, коли ми маємо оцінки середнього та середньоквадратичного відхилення, нам необхідно повернутися до формули (2). Справді, оцінки μ і σ ми маємо, інтервал (а,b) задаємо самі, залишилося взяти інтеграл. Але тут нас чатує нова неприємність! Невизначений інтеграл такого виду не береться до елементарних функцій. На наше щастя маємо справу не з невизначеним інтегралом, а з певним інтегралом. Як ми пам'ятаємо з попереднього курсу, певний інтеграл є числом і існує досить багато чисельних методів отримання цього числа з будь-якою заданою точністю. Застосувавши один із цих методів, ми отримаємо число, яке і буде ймовірністю попадання наступного виміру випадкової величини в інтервал (a, b).Змінивши межі інтервалу і провівши аналогічні розрахунки, ми отримаємо ймовірність попадання випадкової величини в цей новий інтервал і т.д. Завдання начебто вирішене. У нас є методика розрахунку ймовірності попадання випадкової величини в будь-який заздалегідь заданий інтервал. Однак проведення таких розрахунків не дуже зручне, оскільки потребує багато обчислень. Чи можна полегшити життя? Ну, перше, що спадає на думку це розрахувати всі значення інтеграла для інтервалів, що змінюються з певним (невеликим кроком) і занести їх до таблиці. Тоді можна скористатися цією таблицею і нічого не рахувати. Але ця таблиця буде вірна, тільки для тієї випадкової величини, на яку вона розраховувалася. Виходить, що нам треба створювати незліченну кількість таблиць для різних випадкових величин. Зрозуміло, що тут теж треба щось вигадати. Людство придумало, як обійтися однією таблицею всім випадків. Для цього від нашої випадкової величини X (будь-який, яку ми вивчаємо) треба перейти до іншої випадкової величини Z, використовуючи наступне співвідношення:
Що ж ми отримаємо внаслідок цієї операції? Ми отримаємо нову випадкову величину, для якої = 0 і s = 1. Ця випадкова величина називається нормованою нормально розподіленою випадковою величиною Z. Оскільки цю операцію можна провести для будь-якої випадкової величини, що підпорядковується закону Гауса, ми можемо будь-яку випадкову величину. величину звести до випадкової величини Z, а, отже, для розрахунку ймовірності попадання вихідної випадкової величини наперед заданий інтервал побудувати ТІЛЬКИ ОДНУ таблицю. Звичайно ж, така таблиця була давно побудована, вона наведена в додатку 3 і називається таблицею значень функції розподілу нормованої нормально розподіленої випадкової величини.
Навчимосякористуватися цією таблицею. Наприклад, розглянемо число, що стоїть на перетині рядка, що починається з 0,5 і стовпця, позначеного цифрою 5. Це число дорівнює 0,7088. Воно показує, що при наступному випробуванні ймовірність, що випадкова величина прийме значення МЕНШЕ 0,55 дорівнює 0,7088. Зауважте, що номер стовпця є сотий знак заданого нами числа. Тепер поставимо завдання так. Як користуючись таблицею знайти можливість попадання в інтервал (z1, z2), адже це і є наше основне завдання. Якщо z2 > z1, то шукана ймовірність дорівнюватиме різниціФ(z2)–Ф(z1). Наприклад, знайдемо ймовірність, що при наступному випробуванні значення нормованої випадкової величини потрапить в інтервал (0,95; 1,54). Спочатку знайдемо Ф(1,54). Для цього знайдемо в таблиці рядок, який починається з 1,5, потім рухаємося цим рядком до стовпця, позначеного цифрою 4. Там стоїть значення Ф(1,54) = 0,9382. Аналогічно знайдемо Ф(0,95) = 0,8289. Тоді шукана ймовірність дорівнюватиме: Р = 0,9382 – 0,8289 = 0,1093.
Для повного вирішення поставленої задачі залишилося відповісти лише на одне запитання: а якщо значення z вийдуть негативні? Адже таблиці додатка 3 немає негативних значень. Відповідь це питання дає така формула:
Ф(-z) = 1 - Ф(z) (7).
З формули (7) випливає: якщо z вийшло негативним, треба знайти значення Ф(z) по таблиці вважаючи z позитивним, та був знайдене значення відібрати від одиниці, і це буде відповіддю. Тепер завдання знаходження ймовірності влучення випадкової величини, розподіленої за законом Гауса, у будь-який наперед заданий інтервал вирішено повністю
Для ілюстрації введених до розгляду понять розберемо наступний приклад. Нехай у пологовому будинку за добу народилося 20 дітей, вага яких з точністю до 0,1кілограма наведено у таблиці 1.