Заняття 10 Інтегрування диференціального бінома

1.5.10. Інтегрування диференціального бінома

Інтеграл від диференціального бінома

деm,nіp-раціональні числа, може бути приведений до інтегрування раціональних функцій лише в наступних трьох випадках (теорема Чебишева):

Випадок 1. Нехай - ціле. Тоді вважаючи

, деN- загальний знаменник дробівmіn.

Випадок 2. Нехай - ціле. Тоді вважаємо

, деN- знаменник дробуp.

Випадок 3. Нехай - ціле. Тоді застосовуємо підстановку, деN- знаменник дробуp.

Якщо

, то ці випадки еквівалентні наступним:

№1985

=перепишемо підінтегральний вираз у вигляді диференціального бінома

=тепер зрозуміло, що. Переконаємося, що цей диференціальний бін належить до одного з трьох зазначених випадків.Перевірка показала, що підінтегральну функцію призведе до раціонального виду підстановка. Дійсно

=

=

=

,і завдання звелося до знаходження інтеграла від правильного раціонального дробу, який треба подати у вигляді суми елементарних дробів.===Пошук інтегралів від цих елементарних дробів – завдання вже відоме.

==

+

=

==

=

Аналогічно вирішуються№№ 1981, 1983, 1989.

Домашнє завдання№№ 1982, 1986, 1988.

---