Застосування діаграм Ейлера-Венна під час вирішення логічних завдань
Леонарду Ейлеру поставили запитання: чи можна, прогулюючись Кенігсбергом, обійти через усі мости міста, двічі не проходячи через них. План міста із сімома мостами додавався.
У листі знайомому італійському математику Ейлер дав коротке і гарне вирішення проблеми кенігсберзьких мостів: при такому розташуванні завдання не вирішене. При цьому він зазначив, що питання видалося йому цікавим, т.к. «для його вирішення недостатні ні геометрія, ні алгебра. ».
При розв'язанні багатьох завдань Л. Ейлер зображував безлічі за допомогою кіл, тому вони й одержали назву«кола Ейлера». Цим методом раніше користувався німецький філософ і математик Готфрід Лейбніц, який використовував їх для геометричного пояснення логічних зв'язків між поняттями, але при цьому частіше використовував лінійні схеми. Ейлер досить грунтовно розвинув метод. Особливо знаменитими графічні методи стали завдяки англійському логіку та філософу Джону Венну, який запровадив діаграми Венна та подібні схеми часто називають діаграмами Ейлера-Венна. Використовуються вони у багатьох областях, наприклад, у теорії множин, теорії ймовірності, логіки, статистики та інформатики.
Спробуй звернутися за допомогою до викладачів
Принцип побудови діаграм
Досі діаграми Ейлера-Венна широко використовують для схематичного зображення всіх можливих перетинів кількох множин. На діаграмах зображують усі $2^n$ комбінацій n властивостей. Наприклад, при $n=3$ на діаграмі зображують три кола з центрами у вершинах рівностороннього трикутника та однаковим радіусом, який приблизно дорівнює довжині сторони трикутника.
Логічні операції задають таблиці істинності. На діаграмі зображується коло з назвою множини, яке він представляє, наприклад $A$. Область усередині кола $A$ відображатиме істинність виразу $A$, а область поза коло - брехня. Для відображення логічної операції заштриховують лише ті області, у яких значення логічної операції при множинах $A$ і $B$ істинні.
Наприклад, кон'юнкція двох множин $A$ і $B$ істинна тільки в тому випадку, коли обидва множини істинні. У такому випадку на діаграмі результатом кон'юнкції $A$ і $B$ буде область в середині кіл, яка одночасно належить множині $A$ і множині $B$ (перетину множин).
Задай питання спеціалістам і отримай відповідь вже через 15 хвилин!
Малюнок 1. Кон'юнкція множин $A$ і $B$
Використання діаграм Ейлера-Венна для підтвердження логічних рівностей
Розглянемо, як застосовується спосіб побудови діаграм Ейлера-Венна на підтвердження логічних рівностей.
Доведемо закон де Моргана, який описується рівністю:
Представимо за допомогою діаграм спочатку ліву частину рівності:
застосуємо диз'юнкцію - заштрихуємо кола обох множин сірим кольором (рис. 2);
відобразимо інверсію - заштрихуємо область за межами кіл чорним кольором (рис. 3).
Рисунок 2. Диз'юнкція $A$ та $B$
Рисунок 3. Заперечення диз'юнкції $A$ та $B$
Представимо праву частину рівності:
застосуємо інверсію $A$ - заштрихуємо область за межами кола безлічі $A$ сірим кольором (рис. 4);
застосуємо інверсію $B$ - аналогічно до інверсії $A$ (рис. 5);
відобразимо кон'юнкцію - заштрихуємо перетин сірих областей чорним кольором (рис. 6).
Малюнок 4. Інверсія $A$
Малюнок 5. Інверсія $B$
Малюнок 6. Кон'юнкція інверсій $A$ та $B$
Після порівняння області для відображеннялівої та правої частини бачимо, що вони рівні. З цього випливає справедливість логічної рівності. Закон де Моргана підтверджено за допомогою діаграм Ейлера-Венна.
Розв'язання задачі пошуку інформації в Інтернеті за допомогою діаграм Ейлера-Венна
Для пошуку інформації в Інтернет зручно використовувати пошукові запити з логічними зв'язками, аналогічними за змістом спілкам "і", "або" української мови. Сенс логічних зв'язок стає зрозумілішим, якщо проілюструвати їх з допомогою діаграм Ейлера-Венна.
У таблиці наведено приклади запитів до пошукового сервера. Кожен запит має свій код - буква від $ A $ до $ B $. Потрібно розмістити коди запитів у порядку зменшення кількості знайдених сторінок по кожному запиту.
Рішення:
Побудуємо для кожного запиту діаграму Ейлера-Венна:
Відповідь: БВА.
Розв'язання логічного змісту за допомогою діаграм Ейлера-Венна
За зимові канікули з $36$ учнів класу $2$ не були ні в кіно, ні в театрі, ні в цирку. У кіно сходило $25$ чоловік, у театр - $11$, у цирк - $17$ чоловік; і в кіно, і в театрі - $6 $; і в кіно і в цирк - $ 10 $; і в театр і в цирк - $ 4 $.
Скільки людей побувало і в кіно, і в театрі, і в цирку?
Рішення:
Позначимо кількість хлопців, які побували і в кіно, і в театрі, і в цирку - $ x $.
Побудуємо діаграму та дізнаємося кількість хлопців у кожній області:
Не були ні в театрі, ні в кіно, ні в цирку - $ 2 $ чол.
Значить, $ 36 - 2 = 34 $ чол. побували на заходах.
У кіно та театр сходило $6$ чол., отже, лише у кіно та театр ($6 - x)$ чол.
У кіно та цирк сходило $10$ чол., отже, лише у кіно та цирк ($10 - x$) чол.
У театр та цирксходило $4$ чол., отже, лише у театрі і цирк ($4 - x$) чол.
У кіно сходило $ 25 $ чол., Отже, з них тільки в кіно сходило $ 25 - (10 - x) - (6 - x) - x = (9 + x) $.
Аналогічно, лише у театр сходило ($1+x$) чол.
Тільки до цирку сходило ($3+x$) чол.
Отже, сходили до театру, кіно та цирку:
Тобто. тільки одна людина сходила і до театру, і до кіно, і до цирку.
Відповідь: $1$.
Так і не знайшли відповідь на своє запитання?
Просто напиши з чим тобі потрібна допомога