Завдання 41
Петро Маковецький. Дивись у корінь! Збірник цікавих завдань та питань
Тонке високе дерево спиляно під корінь і падає (рис. 40). Куди прогинається ствол дерева під час падіння: опуклістю вниз чи вгору?
Мал. 40.Падаюче дерево
Щоб уникнути заплутування картини сторонніми обставинами, вважатимемо, що, по-перше, стовбур дерева перепиляний повністю, до останнього волокна, і, по-друге, опір повітря падаючому дереву відсутня (інакше вас відвернуло б від русла завдання те, що гілки і листя, складові крону, як парашут, підтримують маківку дерева, і, отже, під дією власної тяжкості стовбур прогинається вниз).
Дивись у корінь!
Козьма Прутков. «Думки та афоризми», №5.
Така відповідь є надто поспішною. Тількивільнопадаюче тіло знаходиться в стані невагомості, а спиляне дерево не є вільно падаючим, оскільки воно (дивися в корінь!) спирається комлем* на пень або на землю.
*Коміль – прилегла до кореня частина дерева
Уявімо, що комель дерева, що падає, прикріплений до пня шарніром, навколо якого дерево при падінні обертається. І нехай там, куди дерево збирається впасти, землі немає, тож стовбур, пройшовши через горизонтальне положення, продовжує обертатися далі. Це дозволяє нам розглядати його як маятник. А поведінка маятника нам добре відома. Представимо тепер замість ствола безліч математичних маятників01,02,03, .08різної довжини, кожен з яких закріплений в одній і тій же точці підвісу0(рис. 41). Як ви знаєте, математичний маятник є точковою масою, підвішеною на невагомому стрижні. Для такого маятника відомо, щоперіод його коливання тим більше, чим довший маятник. Найкоротший маятник01матиме найкоротший період коливання, кожний наступний – довший період.
Мал. 41.Інтерпретація падаючого ствола
Нехай спочатку всі маятники становлять однаковий кут α0 по відношенню до вертикалі. Звільнимо всі маятники одночасно і сфотографуємо їх через проміжок часу, за який маятник08встигне повернутися на помітний кут α8. Оскільки період коливання маятника07коротший, то за цей самий проміжок часу він повернеться на більший кут α7. Кут повороту α6 маятника06ще більший, і т.д. У результаті маятники на знімку розташуються по кривій01'2'3'. 8', яка опуклістю звернена вниз. Тепер ясно, що цілий стовбур також падатиме опуклістю вниз, тільки сили пружності, що пов'язують окремі «маятники» воєдино, прагнутимуть випрямити криву, через що прогин буде значно меншим за показане. При падінні тонкого високого ствола цей прогин виразно помітний.
Якщо дерево, падаючи, зачепить сусіднє або почне падати до того, як стовбур буде перепиляно повністю («з хрустом»), то на розглянутий прогин накладуться коливання, що поступово згасають. Здавалося б, що ці коливання повинні виникнути і при повному перепилі через те, що поки дерево стояло, воно було стиснуте (а то й зігнуте) власним тягарем, а починаючи падати – звільняється від напруги. Так було б, якби вагомість із дерева знімалася миттєво. Так буває в електричному коливальному контурі, якщо миттєво його підключити (або відключити) до джерела е.р.с. (Ударне збудження контуру). Але дерево, що падає, розвантажується від вагомості (і розвантажує пень) поступово, при цьому коливання не виникають.