Завдання Кеплера - рішення, постановка, формулювання, суть, висновок, вікі
Завдання Кеплера — це окремий випадок задачі двох тіл, в якій система складається з двох тіл A і B з масами відповідно M і m (M & gt; m і система відліку пов'язана з великим тілом, тобто . це тіло нерухоме).
Суворий математичний аналіз завдання двох тіл, проведений ще Ньютоном, показав, що рух тіл у гравітаційно-пов'язаній системі підпорядковується законам, які були встановлені Кеплером у застосуванні до Сонячної системи та носять його ім'я. Розв'язання задачі двох тіл, що отримується із закону всесвітнього тяжіння Ньютона, дозволяє знайти значення постійних величин, що входять до математичних співвідношення, що виражають ці закони.
Мал. 40. До обчислення потенційної енергії системи
Розв'язання задачі Кеплера
Потенціальна енергія
Знайдемо потенційну енергію такої системи тіл (рис. 40). При переміщенні тіла m з точки R1 до точки R2 буде виконана робота, рівна:
Існує два середніх значення: середнє арифметичне та середнє геометричне. При малій різниці обох величин різниця між середніми виявляється набагато меншою, ніж різниця між величинами. Тому ми можемо замінити твір R1R2. Тоді
Оскільки робота є різниця потенційних енергій, взята зі зворотним знаком, ясно, що
Повна енергія
Знайдемо тепер значення повної енергії системи. Для цього зафіксуємо рівність повної енергії у точках еліпса A та B (рис. 41):
і рівність моментів імпульсу у цих точках:
(Позначення зрозумілі з малюнка 41, якщо припустити, що Сонце знаходиться у лівому фокусі еліпса.)
За допомогою рівняння [2] виключимо з рівняння [1] vB і перепишемо рівняння, що вийшло, у вигляді
Очевидно, що R є коренем цьоготричлен. Прямою підстановкою переконуємося, що r також є коренем цього тричлену. За теоремою Вієта отримуємо
Закон збереження енергії
Тепер закон збереження енергії може бути записаний у вигляді
де a – велика піввісь орбіти, а r – відстань від більшого тіла.
Відповідно до закону збереження енергії, повна енергія системи є величина постійна. Звідси випливає, що швидкість v залежить лише від радіус-вектора r. В іншому випадку E не може бути постійною величиною. Таким чином, завдання залишається лише одна довільна постійна — повна енергія. Вона задається значенням швидкості у довільній точці орбіти (тобто для певного значення r).
Обчислення швидкості та орбіт
Після виконаних обчислень можливе визначення швидкості будь-якої точці орбіти за формулою повної енергії. Оскільки v задається довільним чином (виходячи з умов даної конкретної задачі), ясно, що повна енергія може мати будь-який знак, тобто вона може бути негативною, позитивною та рівною нулю.
Eпол менше 0
В цьому випадку з формули (3) отримуємо
Eпол більше 0
Особливий інтерес представляє випадок Eпол = 0. Найменше тіло при цьому рухається параболою. З цього випливає, що гравітаційно незв'язана система неспроможна мимоволі перетворитися на систему гравітаційно пов'язану, т. е. захоплення іншого тіла у межах завдання двох тіл неможливий. Це становище дуже важливе, коли розглядається можливість утворення системи Земля - Місяць шляхом захоплення Місяця.
Друга космічна швидкість
В цьому випадку швидкість тіла дорівнює:
Ця швидкість називається другою космічною швидкістю з відривом r.