Завдання на рівновеликість фігур

Розділи: Математика

Одними з найдавніших є завдання на рівність площ (рівновеликість), оскільки саме при вимірі площ у Єгипті і зароджувалася геометрія

Історик Геродот (V століття до н. е.) писав: “Якщо Ніл заливав чиюсь ділянку, то постраждалий звертався до царя і доповідав йому про те, що сталося. Тоді цар посилав землемірів (геометрів); вони вимірювали, наскільки зменшилася ділянка і з цього зменшували податок. Ось звідки виникла геометрія (землемірство)”

У книгах "Початку" Евкліда рівновеликість фігур означає, що вони можуть бути складені з частин. Саме цими засобами, не вдаючись навіть до пропорцій, Евклід доводить, що кожен багатокутник може бути перетворений на рівновеликий (рівноскладений) трикутник, а трикутник — на квадрат.

Розглянемо найпростіші випадки рівності площ

1. а СВ. Усі трикутники СВ рівновеликі (рис1)т.к. мають загальну основу та висоту.

2. Медіана трикутника ділить його на два рівновеликі трикутники (доведіть)

3. Діагоналі паралелограма ділять його на 4 рівновеликі трикутники

Доказ: = і = (мають рівні підстави та загальну висоту), аналогічно

+= +, отже: = = =

Розв'яжемо задачі, використовуються властивості рівновеликості фігур

Завдання 1 Даний паралелограм АВСD і точка М поза площиною паралелограма (рис 4) Проведіть через точку М пряму, що ділить його на дві рівновеликі фігури

Рішення:Проведемо діагоналі АС і ВD, які перетнуться в точці О.Пряма МО буде шуканою. Вона розбиває паралелограм на дві трапеції, у яких рівні висоти та рівні середні лінії РО = КО.

Завдання 2.У паралелограмі АВСDвирізали отвір у вигляді прямокутника. Провести пряму так, щоб розділити частину, що залишилася, на дві рівновеликі фігури

Рішення:Проведемо діагоналі паралелограма та прямокутника. Через точки перетину діагоналей О та М проведемо пряму ОМ. Дана пряма буде шуканою (див. попередню задачу) (ще один зразок розв'язання задачі)

Завдання 3 Діагоналі трапеції поділяють її на 4 трикутники. Доведіть, що трикутники, що прилягають до боків трапеції, рівновеликі.

Рішення = Якщо з рівних площ відібрати одну і ту ж площу, то площі, що залишилися, будуть рівні.

Завдання 4На підставах ВС та АD трапеції АВСD довільно взяті точки М і К(рис 7) МА та МD перетинаються з КВ та КС у точках Е та N відповідно. Доведіть, що площа чотирикутника ЕМNК дорівнює сумі площ трикутників АВЕ та DNC

Рішення. Позначимо площі трикутників через і , чотирикутника - З'єднаємо точки М і К отримаємо дві трапеції АВМК та КМСD. Площі трикутників, що належать до бокових сторін, рівні (доведено в задачі 3). Отже, + ,=

Завдання 5 У трапеції CD (рис9) ВК CD, де К АС. Доведіть, що трикутники АВС та КСD рівновеликі

Рішення У трапеції АВСD = (завдання 3), у трапеції KBCD = Складемо рівні площі, отримаємо =.

Для знаходження площі довільного багатокутника його зазвичай розбивають на трикутники та знаходять площу кожного з них. Сума площ цих трикутників дорівнює площі даного багатокутника. Площу багатокутника можна знайти іншими способами. Один із таких способів був вказаний Евклідом. Він полягає у побудові трикутника рівновеликого даного.

Даний опуклий п'ятикутник АВСDЕ побудуємо рівновеликий йомутрикутник. Для цього через вершину проведемо пряму, паралельну діагоналі АС і через точку D пряму паралельну діагоналі СЕ (рис 10).

AFBC трапеція по побудові отже = (загальна основа АС та висота)

Аналогічно EKDC трапеція і = Таким чином =

Застосовуючи спосіб Евкліда до трапеції, отримуємо інший спосіб виведення площі трапеції.

Розглянемо трапецію АВСD з основами АD =аі ВС =ві висотою h Проведемо через вершину В пряму РЄ ВD , тоді = Чотирьохкутник ВСЕD паралелограм, тому ЕD = ВС =в. Отже, =(a + b) h

Доведемо ще одну формулу для площі трапеції

Довести, що площа трапеції дорівнює добутку бічної сторони і перпендикуляра, проведеного з середини іншої бічної сторони до прямої, що містить першу сторону

Нехай у трапеції АВСD точка Е – середина СD, а EF – перпендикуляр до АВ через точку Е (рис 12) Проведемо пряму, паралельну АВ і перетинає прямі АD та ВС у точках К і М відповідно. АМВК - паралелограм і = FD · EF. Цей паралелограм і трапеція АВСD рівноскладені, отже, рівновеликі, отже = AB · EF

Література:

Атанасян Л З Геометрія Додаткові розділи до підручника Москва 2006.
Шаригін. І Ф Геометрія Завдання М. Дроф 1997.