Завдання про торт
Віїні-Пух та Паць їли торт. За скільки часу вони вдвох змогли це зробити? Цікаво, що: якби їли той же торт два Вінні-Пуха, то у них торт був з'їдений на 1 хвилину раніше, ніж це вдалося Вінні і П'ятачку разом; а якби якщо той самий торт два П'ятачка, то на 4 хвилини більше часу витратили б, ніж Вінні і Паць разом. Так за скільки часу з'їли торт друзі?
Я вирішив графічно. Пояснення нижче.
Отже. Зрозуміло, що Вінні їсть швидше. Отже, він встигає зжерти стільки, скільки червоним на першій діаграмі, а Паць — синім. Я тут сегменти намалював, вже виходячи з готової відповіді, але для розуміння конкретна пропорція не є важливою.
Тепер уявімо, що жеруть два П'ята. Оскільки швидкість жорька у них дорівнює, з'їдять вони кожен по пів тортика. Тобто. П'ятак-1 - синє та фіолетове, П'ятак-дубль - червоне та зелене. Відповідно, на поїдання фіолетового та зеленого у них йде 4 зайві хвилини.
Якщо ж жеруть два ведмеді, то ситуація зворотна: поки ведмідь їв один, то він, поки П'ятак жере своє синє, з'їдав червоне, зелене та фіолетове. А коли жеруть удвох, то з'їв зелене та червоне, а решту на той час уже з'їв інший ведмідь. Отже, на поїдання фіолетового у Вонні пішла б одна хвилина.
Разом: Птчк їсть рівно вчетверо повільніше Вонни. Отже, коли вони їдять удвох, Птчк з'їдає 1/5 частину торта, Вонні - 4/5. Отже, фіолетове та зелене займають по 1/2–1/5=3/10 тортика. Три десятих тортика Птчк жере за 4 хвилини (див. вище). Значить, свою 1/5 він з'їсть за 2 та 2/3 хвилини.
Hru: не виходить. Якщо порахувати у зворотний бік: а) вдвох вони їдять за 6 хв, значить два Вінні за 5 хв, значить один Вінні за 10 хв, значить в 1 хвилину Вінніз'їсть 0,1 торта б) удвох вони їдять за 6 хв, значить два п'ятачка за 10 хв, значить один Паць за 20 хв, значить за хвилину Паць з'їсть 0,05 торта
якщо вони удвох їли 6 хвилин, то Вінні з'їв 0,6 торта, а Паць, 0,3 торта.
Я б вважала так: Нехай t - час, за який Вінні-Пух і Паць з'їдають торт, тоді Вінні-Пух з'їдає половину торта за t-1 хвилини П'ятачок з'їдає половину торта за t+4 хвилини Нехай В — швидкість поїдання торта Вінні-Пухом, а П — П'ятачком, тоді (t–1)B=1/2(1), звідки tB = 1/2+B (t+4)П=1/2(2), звідки tП = 1/2–4П А т.к. t(В+П)=1 (вони удвох з'їли торт), то 1/2+В+1/2–4П=1, звідки В=4П, підставляємо (1), отримуємо (t–1)4П=1 /2 З (2) П=1/(2(t+4)), підставляємо в останнє співвідношення і отримуємо: (t–1)2/(t+4)=1/2, звідки 4t–4=t+4, 3t=8, t=8/3
Вдалося обійтись без квадратного рівняння.
Вирішуємо систему - шукаємо Т
Чехов має чудову розповідь Репетитор, якраз на цю тему.
А з цього завдання я вирішував так:
Нехай у нас буде два Вінні-Пуха, два П'ятачка і два торти. Часу на два торти вдвічі більшій команді буде потрібно стільки ж, скільки і на один. Припустимо, спочатку Вінні-Пухи з'їдають свій торт і потім допомагають П'ятачкам. Після того як Вінні-Пухи з'їли свій торт, П'ятачкам потрібно ще п'ять хвилин, щоб доїсти частину свого торта, що залишилася (Різниця в часі поїдання — п'ять хвилин, з умови). Але разом вони доїдять частину, що залишилася, за хвилину. Значить, ту частину, що Вінні-Пухи з'їдять за хвилину, Паці будуть їсти 4 хвилини. Значить, Вінні-Пух вчетверо ненажерливіший Паць. А якщо так, то до того моменту, коли Вінні-Пухи з'їли свій торт цілком, П'ятачки з'їли лише чверть. Три чверті торта подвоєна команда з'їдає за хвилину, отже, один Паць і Оді Вінні-Пухз'їдять 3/4 торт за дві хвилини або за 120 секунд. А цілий торт – за 160 секунд ((120/3)*4), що становить 2 хвилини 40 секунд.
MiAMi: Так, згоден, уточнення спрощують розуміння та прибирають неоднозначності. Найголовніше — "Часу на два торти вдвічі більшій команді буде потрібно стільки ж, скільки шуканої парі і на один".
Гарне завдання, треба запам'ятати :)
X-швидкість Вінні Y-швидкість Пацька t-час у хвилинах