Здати ЄДІ з математики
Як здати ЄДІ з математики? Питання, яке не має чіткої однозначної відповіді. Хтось хоче набрати лише мінімальний бал, хтось думає як йому впоратися з параметрами та завданнями з геометрії у складній частині.
Але безперечно те, що готуватися планомірно і систематично потрібно щонайменше рік, повторюючи теорію та відпрацьовуючи прийоми рішення, регулярно вирішуючи завдання з усіх тем. Без зусиль, як кажуть — рибки не видно.
Минулої статті ми розібрали кілька «хитреньких» завдань, на яких через неуважність спотикаються навіть добре підготовлені хлопці. Тут розглянемо ще щось цікаве:
27671. Знайдіть ординату точки перетину осі оy і пряму, яка проходить через точку B(6;4) і паралельна пряма, що проходить через початок координат і точку A(6;8).
Перший спосіб (для тих, хто любить обчислювати і часу не шкода).
Ідея така: знаходимо рівняння даної прямої, далі знаючи кутовий коефіцієнт прямої можемо записати рівняння паралельної прямої, що проходить через точку В. Потім обчислюємо число b у рівнянні прямої y = bx + b (підставивши координати точки В). І вже потім ми зможемо знайти вказану в умові ординату, підставивши в рівняння абсцис рівну нулю.
Використовуємо формулу рівняння прямої, що проходить через дві точки. Вона має загальний вигляд:
У нашому випадку буде:
Дані точки через які проходить пряма мають координати (0; 0) і (6; 8), значить:
Приведемо до вигляду y=kx+b:
Так як кутові коефіцієнти паралельних прямих рівні, то рівняння прямої проходить через точку (6; 4) буде наступним:
Значення b знайдемо підставивши на це рівняння координати точки В(6;4):
Значить рівняння прямої матиме вигляд:
Щоб знайтиординату точки перетину цієї прямої з віссю оу підставляємо в знайдене рівняння абсцис х = 0:
*Другий спосіб (без обчислень).
За даними координатами на аркуші в клітину будуємо ескіз:
Паралельним перенесенням зсуваємо пряму вниз уздовж осі оу до точки (6; 4):
Зсув відбувається на 4 одиниці. Тобто точка А (6; 8) "перейшла" в точку В (6; 4), а точка О (0; 0) "перейшла" в точку (0; -4).
Таким чином, паралельна пряма проходить через точку В(6;4) перетинатиме вісь оу в точці (0;-4). Шукана ордината дорівнює -4.
*Це завдання та інші з координатною площиною на момент написання цієї статті виключені з відкритого банку завдань. На сайті Дмитра Гущина вони є. Чи будуть вони на ЄДІ? Не знаю. Але рішення вирішив розмістити, буде корисним у будь-якому випадку.
Якщо вам подобається вирішувати такі завдання алгебраїчно, то вперед. Але найкращий час не витрачати і використовувати другий підхід. Він працює і в багатьох інших подібних завданнях. Досвідченому оку навіть ескіз не потрібно будувати (на аркуші в клітку), відповідь надходить за 5 секунд. І не важливо, через які точки проходить пряма, головне правильно її змістити (перенести).
99610. По морю паралельними курсами в одному напрямку йдуть два суховантажні машини: перший довжиною 120 метрів, другий — довжиною 80 метрів. Спочатку друге суховантажне судно відстає від першого, і в деякий момент часу відстань від корми першого суховантажного судна до носа другого становить 400 метрів. Через 12 хвилин після цього вже перший суховантаж відстає від другого так, що відстань від корми другого суховантажу до носа першого дорівнює 600 метрам. На скільки кілометрів на годину швидкість першого суховантажу менша за швидкість другого?
*Рекомендація! При вирішенні таких завдань обов'язково робіть ескіз та позначте відомівеличини, наочність дуже допомагає.
Усі довжини не забуваємо перевести у кілометри.
Відразу звертаємо увагу, що в умові недана ніяка швидкість. Позначимо їх. Нехай швидкість першого суховантажу буде х(км/год), другого у (км/год).
Час, який рухалися суховантажі, однаковий – 12 хвилин.
Переведемо хвилини на годину: 12 хвилин це 1/5 години або 0,2.
Складемо таблицю та заповнимо графу «відстань»:
Відзначимо на ескізі довжини суховантажів, відстань між ними, також відстань, яку пройшов перший, вона дорівнює 0,2 х км:
*Темним кольором позначено вихідну позицію, синім – кінцеву.
Обчислимо за ескізом відстань, яку другий піде вперед. Обчислюватимемо з корми (задньої частини), метри перевели в кілометри:
Тепер ми можемо прирівняти табличне значення та отриману (мається на увазі відстань пройдена другим):
Як бачимо, у цій задачі зовсім не обов'язково знаходити самі швидкості, достатньо знайти їх різницю та відповідь готовий.
Використовуємо наступний прийом. Можна спростити умову і прийняти швидкість першого суховантажу за 0 км/год (коштує на місці), швидкість другого позначити будь-якою змінною, залишимо у. Побудуємо ескіз:
Виходить, що другий пройшов повз перший і подолав:
Швидкість другого, як сказано дорівнює у. Тобто за 0,2 години він пройшов 0,2 км. Можемо записати:
Обчислюємо різницю швидкостей:
*Другий підхід дещо спрощує рішення і завдання на перший погляд «страшненька» стає простим. Знайдуться і такі хлопці, які матимуть змогу вирахувати усно.
26720. Знайдіть найбільше значення функції
1. е =2,7182818…. (Нескінченний десятковий дріб).
2. Натуральний логарифм це логарифм, на основі якого стоїтьчисло е.
Знайдемо похідну заданої функції:
Знайдемо нулі похідної на заданому відрізку:
Розв'язавши квадратне рівняння отримуємо:
Точка х=1 належить заданому відрізку та розбиває його на інтервали, точка х=9/4 йому не належить.
Визначимо знаки похідної на інтервалах:
*Нестача! Прийде витратити час на поділ.
Зобразимо поведінку функції:
У точці х=1 знак похідної змінюється з позитивного на негативний, це точка максимуму. Обчислюємо значення функції:
Тепер подумаємо логічно. Якщо врахувати, що відповіддю має бути ціле число, або кінцевий десятковий дріб, то під знаком логарифму має стояти число 1, інакше (коли х≠1) ми не зможемо обчислити значення логарифму, щоб отримати обумовлене значення відповіді. Одиниця входить у відрізок (1 це 14/14). Ось і виходить, що у точці х = 1 значення функції буде найбільшим. Обчислюємо його:
Ще можна вчинити так. Обчислити значення функції у трьох точках – у точці х=1 і межах відрізка:
*У випадках, коли під знаком логарифму стоять дроби, в результаті у нас не вийде ціле число або кінцевий десятковий дріб. Відповідь очевидна, це –3.
*Як бачите, перший підхід є часвитратним заходом, а другим способом завдання можна вирішити практично за хвилину.
282861. Знайдіть найменше значення функції
Так як інтервал невеликий, то можна обійтися без обчислення похідної та вирішення завдання за стандартним алгоритмом.
Підставимо цілі значення з відрізка -4; -3; –2 та –1 у функцію та обчислюємо:
Найменше значення функції –1.
Якщо ви ще не знаєте, то дані завдання входять докнигу «Найхитріші завдання на ЄДІ з математики». Усього їх там 188, у майбутньому будуть доповнення.