Жива геометрія

Чому наш світ прекрасний? Чому форми і кольори живої природи не в усьому відповідають принципу біологічної доцільності, але багато в чому дотримуються загальних закономірностей гармонії, які виявляються шляхом суворого математичного аналізу? Свого часу автор теорії еволюції — Чарльз Дарвін — припустив, що естетичні закономірності, що випадково з'являються в живій природі, приваблюють особин іншої статі і закріплюються в наступних поколіннях. При вивченні природи ми знаходимо у ній дедалі більше естетичних ознак, які виявляються, зазвичай, не відразу, але після детального математичного аналізу.

Дослідження останніх років показали, що форми живої природи, що естетично сприймаються, здебільшого пов'язані з неевклідовою симетрією, що виявляється, знову-таки, лише після ретельного математичного аналізу. Те саме можна сказати і щодо співу птахів, досконалість форм якого можна оцінити лише після застосування спеціальної записуючої апаратури. Іншими словами, естетично правильні форми є набагато більш поширеними в природі, ніж це може здатися на перший погляд.

При використанні законів геометрії природи в новій ситуації для вивчення курсів предметів, пов'язаних з геометричними побудовами, ми підвищуємо загальну мотивацію до вчення. У результаті учні наново переосмислюють вивчені геометричні закони, розвивають геометричну інтуїцію.

Крім того, у процесі виконання творчих завдань різного змісту хлопці знайомляться з можливими сферами застосування геометричних знань (художниками, архітекторами, дизайнерами тощо). Це служить підвищенню інтересу до предмета та усвідомленому вибору профілю навчання у старшій школі, а досвід та знання, набуті у процесівивчення комп'ютеризованого курсу, розширюють геометричні уявлення учнів та допоможуть при подальшому їхньому навчанні.

Метою нашої роботи є вивчення проявів геометричних законів у живій природі та використання їх у освітній практичній діяльності.

Для досягнення цієї мети слід вирішити низку завдань:

Вивчити теоретичні джерела проблеми;
Ознайомитись із сутністю геометричних законів та заснованих на них побудовах;
Розглянути історичні аспекти геометричних законів та побудов;
Вивчити практичне заломлення цієї теми;
Проаналізувати отримані відомості, надати рекомендації щодо практичного використання «живої геометрії».

У цій роботі використовуються такі методи: аналіз теоретичних джерел та розробка практичних вправ.

Об'єктом дослідження є геометрія у живому світі.

Предметом вивчення є методи геометричних побудов, співвідносні з геометрією у світі.

Гіпотеза дослідження така: при створенні спеціальних умов навчання з використанням «живої геометрії» спостерігається позитивна динаміка у мотиваційній сфері школярів, щодо занять кресленням та геометричними побудовами.

1.1 Короткий аналіз литературы

«Багато народів з найдавніших часів володіли уявленням про симетрію в широкому сенсі — як еквівалент врівноваженості та гармонії. У геометричних орнаментах всіх століть відображені невичерпна фантазія і винахідливість художників і майстрів, творчість яких була обмежена жорсткими рамками, встановленими неухильним дотриманням принципів симетрії. Трактовані незрівнянно ширші ідеї симетрії нерідко можна знайти у живопису, скульптурі, музиці тапоезії. Операції симетрії часто є канонами, яким підкоряються балетні па: симетричні рухи становлять основу танцю. Форми сприйняття і вираження у багатьох галузях науки і мистецтва, зрештою, спираються на симетрію, що використовується і проявляється у специфічних поняттях та засобах, властивих окремим галузям науки чи видам мистецтва. Крім спеціалізованих додатків принципи симетрії можуть також для уніфікації та об'єднання великого кола знань» [30].

«Вивчаючи зовнішню форму та будову кристалів, закони механічного руху, природу фізичних полів, елементарні частинки та їх квантовомеханічну поведінку, закони збереження, будову рослин, тварин та людини, математичні абстракції, реалії предметного побуту, архітектуру, скульптуру, живопис, поезію та музику, людина скрізь прагнула знайти і знаходила впорядкованість, гармонію, пропорційність, пропорційність, те, що він зрештою позначив одним поняттям — симетрія. У це ємне поняття включаються і закономірне розташування в просторі однакових матеріальних об'єктів, і впорядкована зміна в часі різних звуків, і математичні закони, і певні зміни фізичних станів і властивостей частинок і полів »[27].

Наведені висловлювання наголошують на надзвичайній широті застосування поняття симетрії, його багатоособливість і загальність. Хоч би які сфери людської діяльності (чи то наука чи мистецтво) ми розглядали, скрізь виявляється симетрія. Немає, мабуть, таких сфер діяльності, де б поняття симетрії не застосовувалося.

Отже, із загальної точки зору, симетрія є поняття, що виражає діалектичну єдність зміни та збереження. Як зазначав Р. Фейнман, симетричним слід вважати такий об'єкт, «який можнаякось змінювати, отримуючи в результаті те саме, з чого почали »[25].

За словами Н. Ф. Овчинникова, «єдність збереження і зміни - ось коротка формула симетрії, що виявляється на абстрактно-теоретичному рівні».

Можна говорити про наступну структуру поняття симетрії [9]:

• є об'єкт, симетрія якого розглядається (це може бути не тільки матеріальний об'єкт, але також зображення, текст, нотний лист, фізичне або інше явище, наприклад танець);

• є зміна (перетворення), стосовно якого розглядається симетрія;

• є збереження (незмінність) об'єкта чи окремих його властивостей чи сторін, що виражає аналізовану симетрію.

Коротко кажучи, симетрія полягає у збереженні чогось за якихось змін. З симетрією ми зустрічаємося щоразу, коли за якихось змін щось зберігається. У цьому сенсі поняття симетрії виявляється, по суті, тотожним поняттю інваріантності.

Доречно нагадати, що давні греки ототожнювали симетрію з гармонією і що, за Піфагором, «гармонія є те, що призводить до протилежності єдності». Щоправда, Піфагор не уточнював, про які протилежності йдеться. Зважаючи на все, він не збирався обмежуватися діалектичною єдністю зміни та збереження, що й визначало нечіткість і розпливчастість поняття симетрії (як і поняття гармонії) [15; 31].

Дотримуючись ідей Ю. Вігнера, які були викладені ним у роботах «Симетрія та закони збереження» та «Роль принципів інваріантності у натуральній філософії», виділимо три рівні наукового пізнання. Перший рівень (найпростіший) - це рівень явищ (фізичних, хімічних, біологічних та ін). Процес пізнання починається з рівня, тобто. з вивчення тазіставлення різноманітних явищ, що відбуваються в навколишньому світі. Це вивчення дозволяє виявити існування між різними явищами тих чи інших взаємозв'язків, які й представляються нами як закони природи. Виявляючи їх, дослідник переходить другий рівень пізнання — рівень законів природи. Аналіз законів природи дозволяє здійснити перехід на третій рівень - рівень принципів симетрії (принципів інваріантності) [10].

Вігнер зазначав: «З вельми абстрактної точки зору існує глибока аналогія між ставленням законів природи до явищ, з одного боку, та ставленням принципів симетрії до законів природи – з іншого. Функція, яку несуть принципи симетрії, полягає у наділенні структурою законів природи чи встановленні з-поміж них внутрішнього зв'язку, як і закони природи встановлюють структуру чи взаємозв'язок у світі явищ. Закони природи дозволяють нам передбачати одні явища на основі того, що ми знаємо про інші явища; принципи інваріантності повинні дозволяти нам встановлювати нові кореляції між явищами виходячи з вже встановлених кореляцій з-поміж них» [9].