Жолобкова нестійкість - Студопедія
Однією з найнебезпечніших виявляється так звана жолобкова (flute-like у зарубіжній літературі) нестійкість. Її ще називають перестановною чи конвективною нестійкістю. Ця нестійкість дуже небезпечна, т.к. вона мало обурює магнітного поля.
Розглянемо цю нестійкість у пробкотроні.
Мал. 4. Жолобкове обурення
Нехай трубка плазми, витягнута вздовж силових ліній, спливає з більш гарячої і щільної області менш щільну і холодну. Перетин магнітних поверхонь пробкотрона, перпендикулярне до осі, показано на рис. 4. Це призводить до згинання ліній постійної густини. Нехай магнітне поле спрямоване за площину креслення. Якщо перетин проходить через середину пробкотрону, у цьому перерізі магнітне поле спадає до периферії. При цьому позитивно заряджені частинки дрейфують у напрямку вектора [H,H], тобто проти годинникової стрілки, а негативно заряджені - у протилежному напрямку. У тій області, де трубка «випливла», на її краях виступлять некомпенсовані заряди і виникне електричне поле в полоідальному напрямку. Під впливом цього поля як позитивно, і негативно заряджені частинки випробовуватимуть ExВ-дрейф, що веде до подальшого «випливання» частинок. Але частинки рухаються також і вздовж силових ліній від пробки до пробки, потрапляючи в області поблизу пробок, де магнітне поле зростає до периферії. У цих областях вони дрейфуватимуть до осі пробкотрону. У пробкотроні частинки погано проникають у область пробок. В результаті частки в середньому зміщуватимуться назовні, тобто плазма буде нестійка.
Мал. 5. Антипробкотрон
В антипробкотроні (див. рис. 5), коли поля від двох кільцевих струмів спрямованіназустріч один одному, магнітне поле всюди спадатиме по радіусу, і плазма буде стійка. Але в екваторіальному перерізі в магнітному полі існуватиме кругова щілина, через яку частинки швидко йдуть з пастки вздовж поля. Така система для утримання плазми непридатна.
Ми якісно розглянули жолобкову нестійкість. Перейдемо тепер до її кількісного опису.
Нехай силова трубка, витягнута вздовж силових ліній, «спливла» з положення 1а-1б в положення 2а-2б (рис. 6), причому час «спливу» набагато більше, ніж час прольоту частинок між пробками.
Мал. 6. Сплив трубки в пробкотроні
Тоді при «спливі» зберігається поздовжній адіабатичний інваріант. Виражаючи паралельну складову імпульсу через магнітний момент і повний імпульс, отримуємо наступний вираз для адіабатичного інваріанту:
. (3.1.1)
Інтегрування тут ведеться між точками відбиття. При зміщенні трубки з положення 1 положення 2 змінюються магнітне поле і точки відображення. При цьому адіабатичний інваріант не змінюється:
. (3.1.2)
Знайдемо середню за період зміну енергії частки:
а також варіацію магнітного поля. В установках типу токамак або стеларатор параметр , рівний відношенню плазмового тиску до магнітного, малий, і обурення магнітного поля можна вважати практично вакуумним, тобто для нього можна покласти rotH = 0.Обчислимо циркуляцію вектораН по замкнутому контуру 1а-1б-2б-2а-1а, показаному на рис. 6. Вважатимемо контур вузьким, тобто інтегралами на ділянках 1б-2б і 2а-1а можна знехтувати. Довжина ділянки 1а-1б дорівнюєdl,магнітне поле на цій ділянці дорівнюєH.Довжина ділянки 2а-2б дорівнює , а магнітне поле,відповідно, дорівнює . Таким чином, з умови звернення в нуль циркуляції магнітного поля отримуємо
. (3.1.4)
Якщо потенційна енергія при відхиленні від рівноваги зростає, система стійка. Потенційна енергія плазми у трубці – це сума енергій усіх частинок у цій трубці. Імовірність перебування частки на відрізку силової лініїdlдорівнює відношенню часу перебування на цьому відрізку до часу перебування між пробками
Підставляючи (3.1.4) у (3.1.3) та враховуючи, що , отримуємо
Імовірність перебування частки на відрізку дорівнює відношенню часу перебування на ньому до періоду поводження між пробками:
Нехай в інтервалі на цій силовій лінії міститься частинок. Тоді повне збільшення енергії в трубці перетиномdSмає вигляд
(3.1.7)
Величина – це число частинок у фазовому об'єміd 3 pd 3 r.Елемент об'ємуdVвиражається через переріз трубки та елемент її довжини,dV = dlsS.ВеличинаHdS- це магнітний потік через майданчикdS.При цьому співвідношення (3.1.7) перепишеться так:
. (3.1.8)
У разі майже ізотропної функції розподілу можна написати:
. (3.1.9)
Середньоквадратична швидкість частинок у нерухомій плазмі пропорційна тиску:
. (3.1.10)
Плазма буде стійка, якщо її енергія при відхиленні від положення рівноваги зростатиме, тобто
. (3.1.11)
У багатьох реальних системах тиск анізотропний. Найпростішим прикладом такої системи є пробкотрон. Внаслідок догляду через магнітні пробки розподіл частинок за паралельними швидкостями відрізняється від розподілу по перпендикулярним. У декартовій системі координат тензор тиску діагональний і має вигляд
;f- функція
розподіл частинок за швидкостями.
У цьому випадку умова стійкості (3.1.12) виглядатиме так:
. (3.1.13)
У токамаку поздовжній тиск мало відрізняється від перпендикулярного. Відповідно (1.1.5) має виконуватися рівність (H, P) = 0.Тому умова (2.1.11) переходить в умову
, (3.1.14)
З іншого боку, варіацію інтеграла можна у наступному вигляді:
,
оскільки у замкнутих системах величина не варіюється. Таким чином, умова стійкості має вигляд
. (3.1.15)
Тобто інтеграл повинен зменшуватись при віддаленні від осі системи.
Умову (3.1.15) можна уявити дещо інакше:
, (3.1.16)
де – переріз трубки, – об'єм трубки, а – магнітний потік через цей переріз. Умовою стійкості є зменшення обсягу силової трубки зі зростанням ув'язненого в ній магнітного потоку.
Очевидно, що неможливо створити систему з абсолютним мінімумом магнітного потоку. Але можна створити систему з мінімумомНв середньому. Прикладами таких систем є циліндр з еліптичним перерізом, в якому еліпс перерізу обертається навколо центральної осі, та пробкотрон зі стабілізуючими стрижнями (установка Іоффе, рис. 7).
Мал. 7. Схема установки Іоффе
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:
Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно