Зміст та значення математичної символіки
Виконала студентка факультету математики 4 курс 4 група Клочанова Ольга Михайлівна
Український державний педагогічний університет ім. А.І. Герцена
Історія науки показує, що логічна структура і зростання кожної математичної теорії, починаючи з певного етапу її розвитку, стають все більшою залежністю від використання математичної символіки та її вдосконалення.
Коли індійці у V столітті зв. е. ввели знак нуля, вони змогли залишити порозрядну систему числення та розвинути абсолютну позиційну десяткову систему числення, перевага якої за рахунку якщо й не усвідомлюють, то повсякденно використовують сотні мільйонів людей. Алгебра та аналітична геометрія зобов'язані багатьом тому, що Вієт та Декарт розробили основи алгебраїчного числення. Введені Лейбніцем позначення похідної та інтеграла допомогли розвинути диференціальне та інтегральне числення; Завдання на обчислення площ, обсягів, роботи сили тощо, вирішення яких раніше було доступне тільки першокласним математикам, стали вирішуватися майже автоматично. Завдяки цьому позначення Лейбніца набули широкого поширення і проникли у всі розділи науки, де використовується математичний аналіз.
Приклад із позначенням похідної та інтеграла особливо яскраво підтверджує правильність зауваження Л. Карно, що в математиці «символи не є тільки записом думки, засобом її зображення та закріплення, – ні, вони впливають на саму думку, вони, до певної міри, спрямовують її, і буває достатньо перемістити їх на папері, згідно з відомими дуже простими правилами, щоб безпомилково досягти нових істин».
Математичні знаки служать насамперед для точної(однозначно визначеної) записи математичних понять та речень. Їхня сукупність – у реальних умовах їх застосування математиками – становить те, що називається математичною мовою.
Використання знаків дозволяє формулювати закони алгебри, а також інших математичних теорій у загальному вигляді. Прикладом можуть бути формули тієї ж алгебри: (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Математичні знаки дозволяють записувати в компактній і легкооглядній формі речення, вираження яких звичайною мовою було б вкрай громіздким. Це сприяє глибшому усвідомленню їхнього змісту, полегшує його запам'ятовування.
Математичні знаки використовуються в математиці ефективно і без помилок, коли вони висловлюють певні поняття, що стосуються об'єктів вивчення математичних теорій. Тому, перш ніж використовувати в міркуваннях та записах ті чи інші знаки, математик намагається сказати, що кожен з них позначає. В іншому випадку його можуть не зрозуміти.
У зв'язку зі сказаним необхідно наголосити наступне. Математики який завжди можуть сказати відразу, що відбиває той чи інший символ, введений ними у розвиток будь-якої математичної теорії, засобами якої можна вирішувати практично важливі завдання. Сотні років математики оперували негативними та комплексними числами та отримували за їх допомогою першокласні результати. Однак об'єктивний зміст цих чисел і дій з ними вдалося розкрити лише наприкінці XVIII та на початку XIX століття. Лейбніц ввів символи dx і dy, розвинув диференціальне числення і з допомогою правил останнього показав виняткову оперативну силу цих символів. Однак Лейбніц не виявив об'єктивного сенсу знаків dx та dy; це зробили математики ХІХ століття.
Знаки та системи знаків грають у математиці роль, дуже подібнуз тією, яка у ширших сферах пізнання та практичної діяльності людей належить звичайній розмовній мові. Подібно до звичайної мови, мова математичних знаків дозволяє обмінюватися встановленими математичними істинами, налагоджувати контакт вчених у спільній науковій роботі.
Вирішальним, однак, є те, що мова математичних знаків без звичайної мови не може існувати. Звичайна (природна) мова змістовніша за мову математичних знаків; він необхідний для побудови та розвитку мови математичних знаків. Мова математичних знаків є лише допоміжним засобом, що приєднується до звичайної мови і використовується в математиці та в областях, де застосовуються її методи.
Можливість використання мови знаків у математиці обумовлена особливостями предмета її досліджень – тим, що вона вивчає форми та відносини об'єктів реального світу, у відомих межах байдужі до їхнього матеріального змісту. Істотна у своїй і специфіка математичних доказів. Математичний доказ полягає у побудові ланцюга висловлювань, початковою ланкою якої є справжні вихідні речення, кінцевим – твердження, що доводиться. Проміжні ланки ланцюга виходять з кінцевого рахунку з початкового і з'єднуються з ним і кінцевою ланкою за допомогою законів логіки та правил логічного висновку. Якщо вихідні твердження записані в символічній формі, то доказ зводиться до їх «механічних» змін.
Доцільність, а наш час і необхідність – використання мови знаків у математиці обумовлена тим, що з його допомоги можна як коротко і ясно записувати поняття та пропозиції математичних теорій, а й розвивати у яких обчислення і алгоритми – найголовніше розробки методів математики і її додатків. Досягтицього за допомогою звичайної мови якщо і можливо, то лише в принципі, але не на практиці.
Достатня оперативність символіки математичної теорії значно залежить від повноти символіки. Ця вимога полягає в тому, що символіка повинна містити позначення всіх об'єктів, їх відносин і зв'язків, необхідних розробки алгоритмів теорії, що дозволяють вирішувати будь-які завдання з класів однотипних завдань, що розглядаються в цій теорії.
Оперування математичними знаками є ідеалізований експеримент: він у чистому вигляді описує те, що має місце чи то, можливо (наближено чи точно) реалізовано насправді. Тільки тому оперування математичними знаками здатне відкриття нових математичних істин.
Вирішальною силою розвитку математичної символіки не є «вільна воля» математиків, а вимоги практики математичних досліджень. Саме реальні математичні дослідження допомагають математикам зрештою з'ясувати, яка система знаків якнайкраще відображає структуру аналізованих кількісних відносин, внаслідок чого може бути ефективним знаряддям їх подальшого вивчення.
§1. Введення нуля та розвиток позиційної десяткової системи числення.
Інтуїтивне уявлення про кількість, мабуть, так само старе, як і саме людство, хоча з достовірністю простежити всі ранні етапи його розвитку в принципі неможливо. Перш ніж людина навчилася вважати або вигадала слова для позначення чисел, вона, безсумнівно, володіла наочним, інтуїтивним уявленням про число, що дозволяло йому розрізняти одну людину і двох людей або двох і багатьох людей.
Назви чисел, що виражають абстрактні ідеї, з'явилися, безсумнівно, пізніше, ніж перші грубі символи для позначення числа об'єктіву деякій сукупності. У давнину примітивні числові записи робилися у вигляді зарубок на палиці, вузлів на мотузку, викладених у ряд каменів, причому передбачалося, що між елементами множини, що перераховуються, і символами числового запису існує взаємно однозначна відповідність. Але для читання таких числових записів назви чисел безпосередньо не використовувалися. Нині ми з першого погляду розпізнаємо сукупності із двох, трьох та чотирьох елементів; Дещо важче розпізнаються на погляд набори, що складаються з п'яти, шести або семи елементів. А за цим кордоном встановити на око їх число практично вже неможливо, і потрібен аналіз або у формі рахунку, або у певному структуруванні елементів. Рахунок на бирках, мабуть, був першим прийомом, який використовувався в подібних випадках: зарубки на бірках розташовувалися певними групами. Дуже широко поширений рахунок на пальцях, і цілком можливо, що назви деяких чисел беруть свій початок саме від цього способу підрахунку.
Важлива особливість рахунку полягає у зв'язку назв чисел із певною схемою рахунку. Наприклад, слово "двадцять три" - не просто термін, що означає цілком певну (за кількістю елементів) групу об'єктів; це термін складової, що означає «двічі по десять і три». Тут чітко видно роль числа десять як колективної одиниці чи основи; і справді, багато хто вважає десятками, тому що, як зазначив ще Аристотель, у нас по десять пальців на руках і на ногах.
Система числення, якою ми переважно користуємося сьогодні, десяткова позиційна. Десятична, тому що її підстава 10. Підставою позиційної системи числення називається ціле число, що зводиться в ступінь, яке дорівнює кількості цифр, що використовуються для зображення чисел в данійсистемі числення. Підстава показує також, скільки разів змінюється кількісне значення цифри при переміщенні її на сусідню позицію. У позиційних системах числення еквівалент (значення) цифри залежить від її місця (позиції) у записі числа
Десятична система характеризується тим, що у ній 10 одиниць будь-якого розряду утворюють одиницю наступного старшого розряду. Іншими словами, одиниці різних розрядів є різними ступенями числа 10.
Десяткові позиційні передували інші, засновані на різних принципах, системи числення. Так прикладом непозиційної системи (тобто такої системи, де кількісний еквівалент кожної цифри залежить від її становища (місця, позиції) у записі числа) може бути нумерація, використовувана древніми греками. Ця система належить до алфавітних. Першими вісьмома літерами грецького алфавіту (з додаванням «архаїчної» літери